Percentili (statistiche)

Di Benjamin anderson Agosto 5, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è un percentile e come viene calcolato. Troverai esercizi sui percentili risolti e, inoltre, potrai calcolare qualsiasi percentile del tuo campione di dati con un calcolatore online.

Cosa sono i percentili?

In statistica i percentili sono i valori che dividono un insieme di dati ordinati in cento parti uguali. Quindi, un percentile indica il valore al di sotto del quale cade una percentuale del set di dati.

Ad esempio, il valore del 35° percentile è superiore al 35% dei dati osservati, ma inferiore al resto dei dati.

I percentili sono rappresentati dalla lettera maiuscola P e dall’indice percentile, ovvero il 1° percentile è P ₁ , il 40° percentile è P ₄₀ , il 79° percentile è P ₇₉ , e così via.

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare i percentili di qualsiasi set di dati.

Allo stesso modo, i percentili sono una misura della posizione non centrale insieme a quartili, quintili e decili. Puoi verificare il significato di ciascuno di questi tipi di quantili sul nostro sito web.

Va notato che il termine percentili viene utilizzato anche per confrontare il peso e l’altezza di un bambino con i valori standard di altri bambini, poiché esistono tabelle di crescita con valori registrati che aiutano a determinare se il bambino sta crescendo correttamente o meno. . .

Come calcolare i percentili

Per calcolare la posizione di un percentile di una serie di dati statistici, è necessario moltiplicare il numero del percentile per la somma del numero totale di punti dati più uno e dividere il risultato per cento.

La formula percentile è quindi:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{100} \qquad k=1, 2, 3,\ldots ,97,98,99$

Nota: questa formula ci dice la posizione del percentile, ma non il suo valore. Il percentile saranno i dati situati nella posizione ottenuta dalla formula.

Tuttavia, a volte il risultato di questa formula ci darà un numero decimale, dobbiamo quindi distinguere due casi a seconda che il risultato sia un numero decimale o meno:

Se il risultato della formula è un numero senza parte decimale , il percentile corrisponde al dato che si trova nella posizione fornita dalla formula sopra.
Se il risultato della formula è un numero con una parte decimale , il valore percentile esatto viene calcolato utilizzando la seguente formula:

$P=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Dove x _i e x _i+1 sono i numeri delle posizioni tra le quali si trova il numero ottenuto dalla prima formula, e d è la parte decimale del numero ottenuto dalla prima formula.

Ora potresti pensare che trovare i percentili di un campione statistico o di una popolazione sia complicato perché il metodo prevede molti passaggi, ma in realtà è facile. Leggi i seguenti due esempi concreti e sono sicuro che lo capirai molto meglio.

Nota : la comunità scientifica non è ancora completamente d’accordo su come calcolare i percentili, quindi puoi trovare un libro di statistica che lo spiega in modo leggermente diverso.

Esempi di calcolo del percentile

Come hai visto sopra nella spiegazione di come trovare i percentili di un campione, il calcolo varia a seconda che il risultato della prima formula sia decimale oppure no. Ecco perché di seguito troverai due esempi risolti, uno per ogni caso.

Esempio 1

Dai dati mostrati nella tabella seguente, calcola il 1°, il 43° e l’89° percentile.

Come spiegato nella sezione precedente, la formula per trovare la posizione di un percentile è:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{100} \qquad k=1, 2, 3,\ldots ,97,98,99$

In questo caso, la dimensione del campione per questo esercizio è di 999 dati statistici, quindi per calcolare la posizione del primo percentile dobbiamo sostituire 999 per n e 1 per k :

$\cfrac{1\cdot (999+1)}{100}=10\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad P_1=35$

Quindi il 1° percentile sarà quello la cui frequenza assoluta cumulativa è immediatamente maggiore di 10, che in questo caso è 35 poiché ha una frequenza assoluta cumulativa pari a 53.

Per determinare il 43esimo percentile bisogna usare la stessa formula ma, ovviamente, questa volta sostituiamo la k con 43.

$\cfrac{43\cdot (999+1)}{100}=430\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad P_{43}=39$

La frequenza cumulativa assoluta immediatamente superiore a 430 è 431 dei dati 39, quindi il 43° percentile è pari a 39.

Infine, applichiamo la stessa formula per ottenere l’89° percentile:

$\cfrac{89\cdot (999+1)}{100}=890\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad P_{89}=44$

La frequenza assoluta cumulativa del valore 44 è 948, che è immediatamente maggiore di 890. Pertanto, l’89° percentile è 44.

Esempio 2

Trova il 35° e il 67° percentile delle seguenti serie di dati:

Anche se in questo esercizio dovremo fare più calcoli, il principio è sempre lo stesso: dobbiamo calcolare la posizione percentile con la seguente espressione.

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,\ldots ,97,98,99$

Pertanto, per calcolare il 35° percentile sostituiamo k con 35 e n con il numero totale di dati, ovvero 700:

$\cfrac{35\cdot (700+1)}{100}=245,35$

Ma questa volta abbiamo ottenuto un numero decimale dalla formula, quindi dobbiamo applicare la seguente espressione algebrica per calcolare il valore percentile esatto:

$P=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Il numero dato dalla prima formula è 245,35, quindi il 35° percentile è compreso tra le posizioni 245 e 246, che corrispondono rispettivamente ai valori 29 e 29. Quindi x _i vale 29, x _i+1 vale 29 e d vale la parte decimale del numero ottenuto, cioè 0,35.

$P_{35}=29+0,35\cdot (29-29)=29$

Per trovare il 67° percentile dobbiamo utilizzare lo stesso metodo. Per prima cosa calcoliamo la posizione percentile:

$\cfrac{67\cdot (700+1)}{100}=469,67$

Il numero risultante 469,67 indica che il percentile sarà compreso tra le posizioni 469 e 470, i cui valori sono 31 e 32. Pertanto, utilizziamo la seconda formula nel processo per trovare il valore percentile esatto:

$P_{67}=31+0,67\cdot (32-31)=31,67$

calcolatore percentile

Inserisci un set di dati statistici e il numero percentile che desideri calcolare nella seguente calcolatrice. I dati devono essere separati da uno spazio e inseriti utilizzando il punto come separatore decimale.

Percentili nei dati raggruppati

Per calcolare i percentili quando i dati vengono raggruppati in gruppi , dobbiamo prima trovare il gruppo o la classe in cui rientra il percentile utilizzando la seguente formula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{100} \qquad k=1, 2, 3,\ldots ,97,98,99$

Il percentile si troverà quindi nell’intervallo la cui frequenza assoluta è immediatamente maggiore del numero ottenuto nell’espressione precedente.

E una volta che conosciamo già l’intervallo a cui appartiene il percentile, dobbiamo applicare la seguente formula per trovare il valore esatto del percentile:

$P_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{100}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3,\ldots ,97,98,99$

Oro:

L _i è il limite inferiore dell’intervallo in cui si trova il percentile.
n è il numero totale di osservazioni.
F _i-1 è la frequenza assoluta cumulativa dell’intervallo precedente.
f _i è la frequenza assoluta dell’intervallo in cui si trova il percentile.
I _i è la larghezza dell’intervallo percentile.

Di seguito è riportato un esercizio passo passo su come ottenere i percentili quando i dati sono espressi in intervalli. Nello specifico vengono calcolati il 29°, 52° e 98° percentile.

I dati in questo esempio sono raggruppati come intervalli, quindi dobbiamo eseguire due passaggi per determinare i percentili: prima dobbiamo trovare l’intervallo in cui rientra il percentile, quindi applicare la formula per calcolare il valore esatto del percentile. percentile.

Troviamo quindi la posizione del 29° percentile con la seguente espressione:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{100}$

$\cfrac{29\cdot (500+1)}{100} =145,29 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [350,375)$

L’intervallo percentile sarà quello la cui frequenza assoluta cumulativa è immediatamente maggiore di 145,29, che in questo caso è l’intervallo [350,375) la cui frequenza assoluta cumulativa è 175. E una volta conosciuto l’intervallo percentile, applichiamo la seguente formula per calcolarne valore esatto:

$P_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{100}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$P_{29}=350+\cfrac{\displaystyle\frac{29\cdot (500+1)}{100}-131}{44}\cdot 25=358,12$

Ora ripetiamo la stessa procedura per calcolare il 52esimo percentile. Per prima cosa calcoliamo il suo intervallo:

$\cfrac{52\cdot (500+1)}{100} =260,52 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [400,425)$

L’intervallo del 52° percentile è [400,425) poiché la sua frequenza assoluta cumulativa (298) è quella immediatamente superiore a 260,52. Il valore esatto del percentile sarà quindi:

$P_{52}=400+\cfrac{\displaystyle\frac{52\cdot (500+1)}{100}-234}{64}\cdot 25=410,36$

Infine, troveremo il 98esimo percentile. Come sempre, calcoliamo prima l’intervallo in cui si trova:

$\cfrac{98\cdot (500+1)}{100} =490,98 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [475,500)$

E una volta conosciuto l’intervallo in cui si trova il percentile, calcoliamo il suo valore esatto con la seguente formula:

$P_{98}=475+\cfrac{\displaystyle\frac{98\cdot (500+1)}{100}-442}{58}\cdot 25=496,11$

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Cosa sono i percentili?

Come calcolare i percentili

Esempi di calcolo del percentile

Esempio 1

Esempio 2

calcolatore percentile

Percentili nei dati raggruppati

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