Probabilità dell'unione di eventi

In questo articolo spieghiamo come calcolare la probabilità di unione degli eventi. Quindi scoprirai qual è la formula per la probabilità dell’unione degli eventi e, inoltre, gli esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è l’unione degli eventi?

Nella teoria della probabilità, l’ unione degli eventi è un’operazione su eventi il cui risultato è composto da tutti gli eventi elementari degli insiemi dell’operazione. In altre parole, l’unione di due eventi A e B è l’insieme degli eventi che si trovano in A, in B o in entrambi.

L’unione di due eventi è espressa dal simbolo ⋃. Pertanto l’unione degli eventi A e B si scrive A⋃B.

Ad esempio, nell’esperimento casuale del lancio di un dado, se un evento lancia un numero dispari A={1, 3, 5} e un altro evento lancia un numero inferiore a tre B={1, 2}, l’unione dei due gli eventi sono A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Formula per la probabilità dell’unione di eventi

La probabilità di unione di due eventi è uguale alla probabilità del primo evento più la probabilità del secondo evento meno la probabilità di intersezione dei due eventi.

In altre parole, la formula per la probabilità dell’unione di due eventi è P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Oro:

• 

  è la probabilità dell’unione dell’evento A e dell’evento B.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento A.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento B.

• 

  è la probabilità dell’intersezione dell’evento A con l’evento B.

Tuttavia, se i due eventi sono incompatibili, l’intersezione tra i due eventi è zero. Pertanto, la probabilità di unione di due eventi incompatibili viene calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.

Esempi risolti di probabilità di unione di eventi

Affinché tu possa vedere come viene calcolata la probabilità di unione di due eventi, ti lasciamo di seguito due esempi risolti passo dopo passo. Troveremo prima la probabilità dell’unione di due eventi incompatibili poi di due eventi compatibili, poiché il calcolo è leggermente diverso.

Probabilità dell’unione di due eventi incompatibili

• Mettiamo in una scatola 10 palline blu, 6 palline arancioni e 4 palline verdi. Qual è la probabilità di estrarre una pallina blu o arancione?

L’esercizio ci chiede di determinare la probabilità che si verifichi un evento o un altro. Pertanto, per risolvere il problema, dobbiamo utilizzare la formula per l’unione di due eventi:

Quindi, per prima cosa calcoliamo la probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente utilizzando la formula della regola di Laplace :

Tuttavia, in questo caso, gli eventi non possono verificarsi contemporaneamente, perché sono due eventi incompatibili. Quindi se disegniamo una pallina blu non potremo più disegnare una pallina arancione, e viceversa.

Pertanto la probabilità congiunta di entrambi gli eventi è zero e quindi la formula è semplificata:

Quindi il calcolo della probabilità di prendere una pallina blu o una pallina arancione è il seguente:

In breve, la probabilità di estrarre una pallina blu o arancione dalla scatola è dell’80%.

Probabilità dell’unione di due eventi compatibili

• Se lanciamo una moneta due volte, qual è la probabilità che esca testa almeno al primo lancio?

In questo caso gli eventi sono compatibili, poiché possiamo ottenere “testa” al primo lancio e “croce” al secondo. Pertanto, la formula per calcolare la probabilità di unione degli eventi non è semplificata ed è la seguente:

Quindi, dobbiamo prima calcolare la probabilità di ottenere “testa” lanciando una moneta applicando la regola di Laplace:

Ora calcoliamo la probabilità dell’intersezione dei due eventi utilizzando la formula della regola di moltiplicazione :

Infine, per trovare la probabilità che esca testa in almeno uno dei due lanci, è sufficiente sostituire i valori nella formula ed effettuare il calcolo:

In conclusione, la probabilità che lanciando due volte una moneta esca testa almeno una volta è del 75%.

Proprietà delle unioni di eventi

Nella teoria della probabilità, il funzionamento dell’unione di eventi soddisfa le seguenti proprietà:

• Proprietà commutativa: l’ordine degli eventi nell’unione non modifica il risultato dell’operazione.

• Proprietà associativa: l’unione di tre eventi può essere calcolata in qualsiasi ordine, poiché il risultato è lo stesso.

• Proprietà distributiva: l’unione degli eventi realizza la proprietà distributiva con l’intersezione degli eventi.