Come trovare la probabilità di a e b: con esempi

Dati due eventi, A e B, “trovare la probabilità di A e B” significa trovare la probabilità che si verifichino entrambi l’evento A e l’evento B.

Generalmente scriviamo questa probabilità in due modi:

• P(A e B) – Forma scritta
• P(A∩B) – Notazione della forma

Il modo in cui calcoliamo questa probabilità dipende dal fatto che gli eventi A e B siano indipendenti o dipendenti.

Se A e B sono indipendenti , allora la formula che usiamo per calcolare P(A∩B) è semplicemente:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Se A e B sono dipendenti , allora la formula che usiamo per calcolare P(A∩B) è:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Si noti che P(B|A) è la probabilità condizionata che si verifichi l’evento B, data   si verifica l’evento A.

Gli esempi seguenti mostrano come utilizzare queste formule nella pratica.

Esempi di P(A∩B) per eventi indipendenti

Gli esempi seguenti mostrano come calcolare P(A∩B) quando A e B sono eventi indipendenti.

Esempio 1: La probabilità che la tua squadra di baseball preferita vinca le World Series è 1/30 e la probabilità che la tua squadra di football preferita vinca il Super Bowl è 1/32. Qual è la probabilità che le tue due squadre preferite vincano i rispettivi campionati?

Soluzione: in questo esempio, la probabilità che ciascun evento si verifichi è indipendente dall’altro. Quindi la probabilità che si verifichino entrambi si calcola come segue:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Esempio 2: Lanci un dado e lanci una moneta contemporaneamente. Qual è la probabilità che il dado esca 4 e la moneta esca croce?

Soluzione: in questo esempio, la probabilità che ciascun evento si verifichi è indipendente dall’altro. Quindi la probabilità che si verifichino entrambi si calcola come segue:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Esempi di P(A∩B) per eventi dipendenti

Gli esempi seguenti mostrano come calcolare P(A∩B) quando A e B sono eventi dipendenti.

Esempio 1: Un’urna contiene 4 palline rosse e 4 palline verdi. Scegli a caso una pallina dall’urna. Quindi, senza reinserimento, selezioni un’altra palla. Qual è la probabilità che sceglierai ogni volta una pallina rossa?

Soluzione: in questo esempio, il colore della pallina scelta la prima volta influisce sulla probabilità di scegliere una pallina rossa la seconda volta. I due eventi sono quindi dipendenti.

Definiamo l’evento A come la probabilità di estrarre una pallina rossa per la prima volta. Questa probabilità è P(A) = 4/8. Successivamente, dobbiamo trovare la probabilità di selezionare nuovamente una pallina rossa, dato che la prima pallina era rossa. In questo caso ci sono solo 3 palline rosse da scegliere e solo 7 palline in totale nell’urna. Pertanto, P(B|A) è 3/7.

Quindi la probabilità di selezionare ogni volta una pallina rossa verrebbe calcolata come segue:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Esempio 2: In una certa classe ci sono 15 ragazzi e 12 ragazze. Supponiamo di mettere i nomi di ogni studente in una borsa. Scegliamo a caso un nome dalla borsa. Quindi, senza sostituzione, scegliamo un altro nome. Qual è la probabilità che entrambi i nomi siano maschi?

Soluzione: in questo esempio, il nome che scegliamo la prima volta influisce sulla probabilità di scegliere il nome di un ragazzo nella seconda estrazione. I due eventi sono quindi dipendenti.

Definiamo l’evento A come la probabilità di selezionare un ragazzo per la prima volta. Questa probabilità è P(A) = 15/27. Successivamente, dobbiamo trovare la probabilità di selezionare nuovamente un ragazzo, dato che il nome era un ragazzo. In questo caso, ci sono solo 14 ragazzi tra cui scegliere e solo 26 nomi in totale nella borsa. Pertanto, P(B|A) è 14/26.

Quindi la probabilità di selezionare ogni volta il nome di un ragazzo verrebbe calcolata come segue:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.