Come trovare la probabilità di a o b: con esempi

Dati due eventi, A e B, “trovare la probabilità di A o B” significa trovare la probabilità che si verifichi l’evento A o l’evento B.

Generalmente scriviamo questa probabilità in due modi:

• P(A o B) – Forma scritta
• P(A∪B) – Notazione della forma

Il modo in cui calcoliamo questa probabilità dipende dal fatto che gli eventi A e B si escludano a vicenda o meno. Due eventi si escludono a vicenda se non possono verificarsi contemporaneamente.

Se A e B si escludono a vicenda , allora la formula che usiamo per calcolare P(A∪B) è:

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Se A e B non si escludono a vicenda , allora la formula che usiamo per calcolare P(A∪B) è:

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Si noti che P(A∩B) è la probabilità che si verifichino entrambi l’evento A e l’evento B.

Gli esempi seguenti mostrano come utilizzare queste formule nella pratica.

Esempi: P(A∪B) per eventi mutuamente esclusivi

Esempio 1: Qual è la probabilità che lanciando un dado esca un 2 o un 5?

Soluzione: Se definiamo l’evento A come il lancio di un 2 e l’evento B come il lancio di un 5, allora questi due eventi si escludono a vicenda perché non possiamo lanciare un 2 e un 5 contemporaneamente. Quindi la probabilità che otteniamo un 2 o un 5 viene calcolata come segue:

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

Esempio 2: supponiamo che un’urna contenga 3 palline rosse, 2 verdi e 5 gialle. Se selezioniamo una pallina a caso, qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina verde?

Soluzione: Se definiamo l’evento A come la selezione di una pallina rossa e l’evento B come la selezione di una pallina verde, allora questi due eventi si escludono a vicenda perché non possiamo selezionare una pallina alla volta rossa e verde. Quindi la probabilità di selezionare una pallina rossa o verde viene calcolata come segue:

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

Esempi: P(A ∪ B) per eventi non mutuamente esclusivi

Gli esempi seguenti mostrano come calcolare P(A∪B) quando A e B non sono eventi mutuamente esclusivi.

Esempio 1: Se selezioniamo casualmente una carta da un mazzo standard di 52 carte, qual è la probabilità di scegliere una carta di picche o una regina?

Soluzione: in questo esempio è possibile scegliere una carta che sia sia picche che regina, quindi questi due eventi non si escludono a vicenda.

Se lasciamo che l’evento A sia l’evento della scelta di picche e l’evento B l’evento della scelta della regina, allora abbiamo le seguenti probabilità:

• P(A) = 13/52
• P(B) = 4/52
• P(A∩B) = 1/52

Quindi, la probabilità di scegliere una picche o una regina viene calcolata come segue:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

Esempio 2: Se lanciamo un dado, qual è la probabilità che cada su un numero maggiore di 3 o su un numero pari?

Soluzione: in questo esempio, è possibile che i dadi escano su un numero che sia maggiore di 3 e pari, quindi questi due eventi non si escludono a vicenda.

Se consideriamo l’evento A l’evento in cui si ottiene un numero maggiore di 3 e l’evento B l’evento in cui si ottiene un numero pari, allora abbiamo le seguenti probabilità:

• P(A) = 3/6
• P(B) = 3/6
• P(A∩B) = 2/6

Pertanto, la probabilità che il dado cada su un numero maggiore di 3 o su un numero pari si calcola come segue:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.