Come trovare la probabilità di successo “almeno due”.

Possiamo utilizzare la seguente formula generale per trovare la probabilità di almeno due successi in una serie di prove:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

Nella formula sopra, possiamo calcolare ciascuna probabilità utilizzando la seguente formula per la distribuzione binomiale :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Oro:

• n: numero di prove
• k: numero di successi
• p: probabilità di successo in una determinata prova
• _n C _k : il numero di modi per ottenere k successi in n prove

Gli esempi seguenti mostrano come utilizzare questa formula per trovare la probabilità di “almeno due” successi in diversi scenari.

Esempio 1: tentativi di tiro libero

Ty effettua il 25% dei suoi tiri liberi. Se effettua 5 tiri liberi, calcola la probabilità che ne effettui almeno due.

Innanzitutto, calcoliamo la probabilità che effettui esattamente zero tiri liberi o esattamente un tiro libero:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che Ty effettui almeno due tiri liberi:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

La probabilità che Ty effettui almeno due tiri liberi in cinque tentativi è 0,3673 .

Esempio 2: widget

In una data fabbrica, il 2% di tutti i widget sono difettosi. In un campione casuale di 10 widget, determinare la probabilità che almeno due siano difettosi.

Innanzitutto, calcoliamo la probabilità che esattamente zero o esattamente uno siano difettosi:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che almeno due widget siano difettosi:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

La probabilità che almeno due widget siano difettosi in questo campione casuale di 10 è 0,0162 .

Esempio 3: domande banali

Bob risponde correttamente al 60% delle domande trivia. Se gli facciamo 5 domande trivia, trova la probabilità che risponda correttamente ad almeno due.

Innanzitutto, calcoliamo la probabilità che risponda esattamente zero o esattamente uno:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che risponda correttamente ad almeno due domande:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

La probabilità che risponda correttamente ad almeno due domande su cinque è 0,91296 .

Bonus: calcolatore di probabilità di “almeno due”

Utilizza questo calcolatore per trovare automaticamente la probabilità di “almeno due” successi, in base alla probabilità di successo in una determinata prova e al numero totale di prove.