Come trovare la probabilità di successo "almeno tre".

Possiamo utilizzare la seguente formula generale per trovare la probabilità di almeno tre successi in una serie di prove:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

Nella formula sopra, possiamo calcolare ciascuna probabilità utilizzando la seguente formula per la distribuzione binomiale :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Oro:

• n: numero di prove
• k: numero di successi
• p: probabilità di successo in una determinata prova
• _n C _k : il numero di modi per ottenere k successi in n prove

Gli esempi seguenti mostrano come utilizzare questa formula per trovare la probabilità di “almeno tre” successi in diversi scenari.

Esempio 1: tentativi di tiro libero

Ty effettua il 25% dei suoi tiri liberi. Se effettua 5 tiri liberi, calcola la probabilità che ne effettui almeno tre.

Per prima cosa, calcoliamo la probabilità che effettui esattamente zero, esattamente uno o esattamente due tiri liberi:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che Ty effettui almeno tre tiri liberi:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

La probabilità che Ty effettui almeno tre tiri liberi in cinque tentativi è 0,1036 .

Esempio 2: widget

In una data fabbrica, il 2% di tutti i widget sono difettosi. In un campione casuale di 10 widget, determinare la probabilità che almeno due siano difettosi.

Innanzitutto, calcoliamo la probabilità che esattamente zero, esattamente uno o esattamente due siano difettosi:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che almeno tre widget siano difettosi:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

La probabilità che almeno tre widget siano difettosi in questo campione casuale di 10 è 0,0009 .

Esempio 3: domande banali

Bob risponde correttamente al 60% delle domande trivia. Se gli facciamo 5 domande trivia, trova la probabilità che risponda correttamente ad almeno tre.

Innanzitutto, calcoliamo la probabilità che risponda correttamente esattamente a zero, esattamente a uno o esattamente a due:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Successivamente, inseriamo questi valori nella seguente formula per trovare la probabilità che risponda correttamente ad almeno tre domande:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

La probabilità che risponda correttamente ad almeno tre domande su cinque è 0,6826 .

Bonus: probabilità di almeno tre calcolatori

Utilizza questo calcolatore per trovare automaticamente la probabilità di “almeno tre” successi, in base alla probabilità di successo in una determinata prova e al numero totale di prove.