Come trovare la probabilità che ce ne sia almeno uno? successo

La probabilità ci dice quanto è probabile che si verifichi un evento.

Ad esempio, supponiamo che il 4% di tutti gli studenti di una determinata scuola preferisca la matematica come materia preferita. Se selezioniamo uno studente a caso, la probabilità che lui o lei preferisca la matematica sarebbe del 4%.

Ma spesso siamo interessati alle probabilità che coinvolgono più prove. Ad esempio, se selezioniamo tre studenti a caso, qual è la probabilità che almeno uno di loro preferisca la matematica?

Possiamo utilizzare i seguenti passaggi per rispondere a questa domanda:

1. Trova la probabilità che uno studente non preferisca la matematica.

Sappiamo che la probabilità che uno studente preferisca la matematica è P (preferisce la matematica) = 0,04.

Pertanto, la probabilità che uno studente non preferisca la matematica è P(non preferisce la matematica) = 0,96.

2. Trova la probabilità che tutti gli studenti selezionati non preferiscano la matematica.

Poiché la probabilità che ogni studente preferisca la matematica è indipendente l’una dall’altra, possiamo semplicemente moltiplicare insieme le singole probabilità:

P(non tutti gli studenti preferiscono la matematica) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Questo rappresenta la probabilità che i tre studenti non preferiscano la matematica come materia preferita.

3. Trova la probabilità che almeno uno studente preferisca la matematica.

Infine, la probabilità che almeno uno studente preferisca la matematica si calcola come segue:

P(almeno uno preferisce la matematica) = 1 – P(non tutti preferiscono la matematica) = 1 – .8847 = .1153 .

Risulta che possiamo usare la seguente formula generale per trovare la probabilità di almeno un successo in una serie di prove:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

Nella formula sopra, n rappresenta il numero totale di prove.

Ad esempio, avremmo potuto utilizzare questa formula per trovare la probabilità che almeno uno studente in un campione casuale di tre preferisca la matematica come materia preferita:

P (almeno uno studente preferisce la matematica) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Ciò corrisponde alla risposta che abbiamo ottenuto utilizzando il processo in tre passaggi sopra.

Utilizza i seguenti esempi come pratica aggiuntiva per determinare la probabilità di “almeno un” successo.

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Esempio 1: tentativi di tiro libero

Mike effettua il 20% dei suoi tiri liberi. Se effettua 5 tiri liberi, calcola la probabilità che ne effettui almeno uno.

Soluzione:

• P(ne fa almeno uno) = 1 – P(manca un dato tentativo) ⁿ
• P(ne fa almeno uno) = 1 – (0,80) ⁵
• P(ne fa almeno uno) = 0,672

La probabilità che Mike effettui almeno un tiro libero su cinque tentativi è 0,672 .

Esempio 2: widget

In una data fabbrica, il 2% di tutti i widget sono difettosi. In un campione casuale di 10 widget, determinare la probabilità che almeno uno sia difettoso.

Soluzione:

• P (almeno uno difettoso) = 1 – P (il widget fornito non è difettoso) ⁿ
• P(almeno uno difettoso) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(almeno uno difettoso) = 0,183

La probabilità che almeno un widget sia difettoso in un campione casuale di 10 è 0,183 .

Esempio 3: domande banali

Bob risponde correttamente al 75% delle domande trivia. Se gli facciamo 3 domande banali, trova la probabilità che risponda almeno ad una in modo errato.

Soluzione:

• P(almeno un errore) = 1 – P(la risposta data è corretta) ⁿ
• P (almeno uno sbagliato) = 1 – (0,75) ³
• P (almeno uno errato) = 0,578

La probabilità che risponda ad almeno una domanda in modo errato è 0,578 .

Bonus: calcolatore della probabilità di “almeno uno”

Utilizza questo calcolatore per trovare automaticamente la probabilità di “almeno un” successo, in base alla probabilità di successo in una determinata prova e al numero totale di prove.