Probabilità di intersezione di eventi

Questo articolo spiega come calcolare la probabilità di intersezione di eventi. Quindi scoprirai qual è la formula per la probabilità di intersezione degli eventi e, inoltre, gli esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è l’intersezione degli eventi?

Nella teoria della probabilità, l’ intersezione degli eventi è un’operazione di eventi il cui risultato è composto da eventi elementari comuni a tutti gli eventi dell’operazione. Cioè, l’intersezione degli eventi A e B è formata da tutti gli eventi che appartengono ad A e B contemporaneamente.

L’intersezione di due eventi è espressa dal simbolo ⋂. Pertanto, l’intersezione degli eventi A e B si scrive A⋂B.

Ad esempio, nell’esperimento casuale del lancio di un dado, se un evento è che viene lanciato un numero pari A={2, 4, 6} e un altro evento è che viene lanciato un numero maggiore di tre B={4, 5, 6 }, l’intersezione dei due eventi è A⋂B={4, 6}.

Formula per la probabilità di intersezione degli eventi

La probabilità dell’intersezione di due eventi è uguale alla probabilità che si verifichi un evento moltiplicata per la probabilità condizionata che si verifichi l’altro evento dato il primo evento.

Pertanto, la formula per la probabilità dell’intersezione di due eventi è P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

Oro:

• 

  E

  

  Questi sono due eventi dipendenti.

• 

  è la probabilità dell’intersezione dell’evento A con l’evento B.

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  è la probabilità che si verifichi l’evento A.

• 

  è la probabilità condizionata che si verifichi l’evento B dato l’evento A.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento B.

• 

  è la probabilità condizionata che si verifichi l’evento A dato l’evento B.

Tuttavia, se i due eventi sono indipendenti, ciò significa che la probabilità che si verifichi un evento non dipende dal fatto che si verifichi l’altro evento. Pertanto la formula per la probabilità di intersezione dei due eventi indipendenti è la seguente:

Oro:

• 

  E

  

  Si tratta di due eventi indipendenti.

• 

  è la probabilità dell’intersezione dell’evento evento A e dell’evento B.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento A.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento B.

Esempi reali di probabilità di intersezione di eventi

Successivamente, vi lasciamo due esempi risolti passo dopo passo in modo che possiate vedere come viene calcolata la probabilità di intersezione di due eventi. Vedremo prima un esempio dell’intersezione di due eventi indipendenti e poi di due eventi dipendenti, in modo da poter vedere entrambi i casi.

Probabilità dell’intersezione di due eventi indipendenti

• Un pareggio viene lanciato tre volte di seguito. Trova la probabilità che esca testa con tutti e tre i lanci.

In questo caso gli eventi per i quali vogliamo calcolare la probabilità congiunta sono indipendenti, poiché il risultato di un’estrazione non dipende dal risultato ottenuto nell’estrazione precedente. Pertanto, per determinare la probabilità di ottenere tre teste consecutive, dobbiamo utilizzare la formula della probabilità di intersezione per eventi indipendenti:

Quando si sorteggiano, ci sono solo due risultati possibili, possiamo ottenere testa o croce. Pertanto, la probabilità di ottenere testa o croce lanciando una moneta è:

Quindi, per trovare la probabilità di ottenere testa in tutti e tre i lanci di moneta, dobbiamo moltiplicare la probabilità di ottenere testa per tre:

In breve, la probabilità di ottenere testa tre volte di seguito è del 12,5%.

Probabilità dell’intersezione di due eventi dipendenti

• In una scatola vuota mettiamo 8 palline blu, 4 palline arancioni e 2 palline verdi. Se estraiamo prima una pallina e poi un’altra pallina senza rimettere nella scatola la prima pallina estratta, qual è la probabilità che la prima pallina sia blu e la seconda arancione?

In questo caso gli eventi sono dipendenti, perché la probabilità di prendere una pallina arancione nella seconda estrazione dipende dal colore della pallina estratta nella prima estrazione. Pertanto, per calcolare la probabilità che il problema ci chiede, dobbiamo utilizzare la formula della probabilità di intersezione per eventi dipendenti:

La probabilità di ottenere una pallina blu alla prima estrazione è facile da determinare, basta dividere il numero di palline blu per il numero totale di palline:

D’altra parte, la probabilità di estrarre una pallina arancione dopo aver preso una pallina blu viene calcolata diversamente perché il numero di palline arancioni è diverso e, inoltre, ora c’è una pallina in meno all’interno della scatola:

Pertanto, la probabilità di estrarre prima una pallina blu e poi una pallina arancione viene calcolata moltiplicando le due probabilità trovate sopra:

Proprietà dell’intersezione degli eventi

Nella teoria della probabilità, l’intersezione degli eventi ha le seguenti proprietà:

• Proprietà commutativa: l’ordine degli eventi di intersezione non modifica il risultato dell’operazione.

• Proprietà associativa: l’intersezione di tre eventi può essere calcolata in qualsiasi ordine, poiché il risultato è lo stesso.

• Proprietà distributiva: l’intersezione degli eventi soddisfa la proprietà distributiva all’unione degli eventi.