Verifica di ipotesi unilaterale: 3 problemi di esempio

In statistica, utilizziamo il test di ipotesi per determinare se un’affermazione su un parametro della popolazione è vera o meno.

Ogni volta che eseguiamo un test di ipotesi, scriviamo sempre un’ipotesi nulla e un’ipotesi alternativa, che assumono le seguenti forme:

H ₀ (ipotesi nulla): parametro della popolazione = ≤, ≥ un certo valore

H _A (ipotesi alternativa): parametro della popolazione <, >, ≠ un certo valore

Esistono due tipi di test di ipotesi:

• Test a due code : l’ipotesi alternativa contiene il segno ≠
• Test unilaterale : l’ipotesi alternativa contiene il segno < o >

In un test a una coda , l’ipotesi alternativa contiene il segno minore di (“<“) o maggiore di (“>”). Ciò indica che stiamo testando se esiste o meno un effetto positivo o negativo.

Esamina i seguenti problemi di esempio per comprendere meglio i test unilaterali.

Esempio 1: widget di fabbrica

Supponiamo di assumere che il peso medio di un determinato gadget prodotto in una fabbrica sia di 20 grammi. Tuttavia, un ingegnere ritiene che un nuovo metodo possa produrre widget di peso inferiore a 20 grammi.

Per verificarlo, può eseguire un test di ipotesi unilaterale con le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ (ipotesi nulla): μ ≥ 20 grammi
• H _A (ipotesi alternativa): μ < 20 grammi

Nota : possiamo dire che questo è un test a una coda perché l’ipotesi alternativa contiene il segno minore di ( < ). Più precisamente, lo chiameremmo test della sinistra, perché stiamo verificando se un parametro della popolazione è inferiore a un valore specifico.

Per testarlo, utilizza il nuovo metodo per produrre 20 widget e ottiene le seguenti informazioni:

• n = 20 widget
• x = 19,8 grammi
• s = 3,1 grammi

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• Statistica del test t: -0,288525
• Valore p unilaterale: 0,388

Poiché il valore p non è inferiore a 0,05, l’ingegnere non riesce a rifiutare l’ipotesi nulla.

Non ci sono prove sufficienti per affermare che il peso medio effettivo dei widget prodotti con il nuovo metodo sia inferiore a 20 grammi.

Esempio 2: crescita delle piante

Supponiamo che sia stato dimostrato che un fertilizzante standard fa crescere una specie di pianta in media di 10 pollici. Tuttavia, un botanico ritiene che un nuovo fertilizzante possa far crescere questa specie di pianta in media di oltre 10 pollici.

Per verificarlo, può eseguire un test di ipotesi unilaterale con le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ (ipotesi nulla): μ ≤ 10 pollici
• H _A (ipotesi alternativa): μ > 10 pollici

Nota : possiamo dire che questo è un test a una coda perché l’ipotesi alternativa contiene il segno maggiore di ( > ). Più precisamente, lo chiameremmo test della mano destra, perché stiamo verificando se un parametro della popolazione è maggiore di un valore specifico.

Per verificare questa affermazione, applica il nuovo fertilizzante a un semplice campione casuale di 15 piante e ottiene le seguenti informazioni:

• n = 15 piante
• x = 11,4 pollici
• s = 2,5 pollici

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• statistica del test t: 2,1689
• Valore p unilaterale: 0,0239

Poiché il valore p è inferiore a 0,05, il botanico rifiuta l’ipotesi nulla.

Ha prove sufficienti per concludere che il nuovo fertilizzante provoca un aumento medio di oltre 10 pollici.

Esempio 3: Metodo di studio

Un professore sta attualmente insegnando agli studenti come utilizzare un metodo di studio che dà come risultato un punteggio medio dell’esame pari a 82. Tuttavia, ritiene che un nuovo metodo di studio possa produrre punteggi dell’esame con un valore medio superiore a 82.

Per verificarlo, può eseguire un test di ipotesi unilaterale con le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ (ipotesi nulla): μ ≤ 82
• H _A (ipotesi alternativa): μ > 82

Nota : possiamo dire che questo è un test a una coda perché l’ipotesi alternativa contiene il segno maggiore di ( > ). Più precisamente, lo chiameremmo test della mano destra, perché stiamo verificando se un parametro della popolazione è maggiore di un valore specifico.

Per verificare questa affermazione, il professore chiede a 25 studenti di utilizzare il nuovo metodo di studio e poi sostenere l’esame. Raccoglie i seguenti dati sui risultati degli esami di questo campione di studenti:

• n= 25
• x = 85
• s = 4.1

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• Statistica del test t: 3,6586
• Valore p unilaterale: 0,0006

Poiché il valore p è inferiore a 0,05, il professore rifiuta l’ipotesi nulla.

Ha prove sufficienti per concludere che il nuovo metodo di studio produce risultati d’esame con un punteggio medio superiore a 82.

Risorse addizionali

Le esercitazioni seguenti forniscono informazioni aggiuntive sul test delle ipotesi:

Introduzione al test di ipotesi
Cos’è un’ipotesi direzionale?
Quando rifiutare l’ipotesi nulla?