Come calcolare gli intervalli di confidenza: 3 problemi di esempio

Un intervallo di confidenza per una media è un intervallo di valori che probabilmente contiene la media della popolazione con un certo livello di confidenza.

Usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per una media:

Intervallo di confidenza = x +/- t*(s/√ n )

Oro:

• x : mezzi campione
• t: il valore critico di t
• s: deviazione standard campionaria
• n: dimensione del campione

Nota : sostituiamo il valore critico con il valore critico az nella formula se la deviazione standard della popolazione (σ) è nota e la dimensione del campione è maggiore di 30.

I seguenti esempi mostrano come costruire un intervallo di confidenza per una media in tre diversi scenari:

• La deviazione standard della popolazione (σ) non è nota
• La deviazione standard della popolazione (σ) è nota ma n ≤ 30
• La deviazione standard della popolazione (σ) è nota e n > 30

Andiamo!

Esempio 1: intervallo di confidenza quando σ è sconosciuto

Supponiamo di voler calcolare un intervallo di confidenza del 95% per l’altezza media (in pollici) di una determinata specie di piante.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale semplice con le seguenti informazioni:

• media campionaria ( x ) = 12
• dimensione del campione (n) = 19
• deviazione standard del campione (s) = 6,3

Possiamo usare la seguente formula per costruire questo intervallo di confidenza:

• IC al 95% = x +/- t*(s/√ n )
• IC al 95% = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• IC al 95% = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• IC al 95% = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• IC 95% = (8.964, 15.037)

L’intervallo di confidenza del 95% per l’altezza media della popolazione per questa particolare specie di pianta è (8,964 pollici, 15,037 pollici) .

Nota n. 1 : abbiamo utilizzato il calcolatore della distribuzione t inversa per trovare il valore t critico associato a 18 gradi di libertà e un livello di confidenza di 0,95.

Nota n.2 : poiché la deviazione standard della popolazione (σ) non è nota, abbiamo utilizzato il valore critico t nel calcolo dell’intervallo di confidenza.

Esempio 2: intervallo di confidenza quando σ è noto ma n ≤ 30

Supponiamo di voler calcolare un intervallo di confidenza del 99% per il punteggio medio di un determinato esame di ammissione all’università.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale semplice con le seguenti informazioni:

• media campionaria ( x ) = 85
• dimensione del campione (n) = 25
• deviazione standard della popolazione (σ) = 3,5

Possiamo usare la seguente formula per costruire questo intervallo di confidenza:

• IC al 99% = x +/- t*(s/√ n )
• IC 99% = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• IC 99% = 85 +/- t _24.005 *(3,5/√ 25 )
• IC 99% = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• IC 99% = (83,042, 86,958)

L’intervallo di confidenza al 99% per il punteggio medio della popolazione in questo esame di ammissione all’università è (83,042, 86,958) .

Nota n. 1 : abbiamo utilizzato il calcolatore della distribuzione t inversa per trovare il valore t critico associato a 24 gradi di libertà e un livello di confidenza di 0,99.

Nota n.2 : poiché la deviazione standard della popolazione (σ) era nota ma la dimensione del campione (n) era inferiore a 30, abbiamo utilizzato il valore critico t nel calcolo dell’intervallo di confidenza.

Esempio 3: intervallo di confidenza quando σ è noto e n > 30

Supponiamo di voler calcolare un intervallo di confidenza del 90% per il peso medio di una certa specie di tartaruga.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale semplice con le seguenti informazioni:

• media campionaria ( x ) = 300
• dimensione del campione (n) = 40
• deviazione standard della popolazione (σ) = 15

Possiamo usare la seguente formula per costruire questo intervallo di confidenza:

• IC al 90% = x +/- z*(σ/√ n )
• IC al 90% = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• IC al 90% = (296.099, 303.901)

L’intervallo di confidenza al 90% per il peso medio della popolazione di questa particolare specie di tartaruga è (83.042, 86.958) .

Nota n. 1 : abbiamo utilizzato il calcolatore del valore Z critico per trovare il valore z critico associato a un livello di significatività di 0,1.

Nota n.2 : poiché la deviazione standard della popolazione (σ) era nota e la dimensione del campione (n) era maggiore di 30, abbiamo utilizzato il valore critico z nel calcolo dell’intervallo di confidenza.

Risorse addizionali

Le seguenti esercitazioni forniscono informazioni aggiuntive sugli intervalli di confidenza:

4 esempi di intervalli di confidenza nella vita reale
Come scrivere una conclusione sull’intervallo di confidenza
Le 6 ipotesi di intervallo di confidenza da verificare