Cos'è la propagazione degli errori? (definizione & #038; esempio)
La propagazione dell’errore si verifica quando si misurano alcune quantità a , b , c , … con incertezze δa , δb , δc … e poi si vuole calcolare un’altra quantità Q utilizzando le misurazioni di a , b , c , ecc.
Risulta che le incertezze δ a , δ b , δc si propagheranno (cioè si “diffonderanno”) fino all’incertezza di Q.
Per calcolare l’incertezza di Q , indicata con δ Q , possiamo utilizzare le seguenti formule.
Nota: per ciascuna delle formule seguenti, si presuppone che le quantità a , b , c , ecc. contengono errori casuali e non correlati .
Addizione o sottrazione
Se Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Allora δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Esempio: supponiamo di misurare la lunghezza di una persona da terra alla vita pari a 40 pollici ± 0,18 pollici. Quindi misuri la lunghezza di una persona dalla vita alla sommità della testa in modo che sia 30 pollici ± 0,06 pollici.
Supponiamo quindi di utilizzare queste due misurazioni per calcolare l’altezza totale della persona. L’altezza verrebbe calcolata come segue: 40 pollici + 30 pollici = 70 pollici. L’incertezza di questa stima verrebbe calcolata come segue:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Questo ci dà una misura finale di 70 ± 0,1897 pollici.
Moltiplicazione o divisione
Se Q = (ab…c) / (xy…z)
Allora δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Esempio: supponiamo di voler misurare il rapporto tra la lunghezza dell’elemento a e quella dell’elemento b . La lunghezza di a è pari a 20 pollici ± 0,34 pollici e la lunghezza di b è pari a 15 pollici ± 0,21 pollici.
Il rapporto definito come Q = a/b verrebbe calcolato come: 20/15 = 1.333 . L’incertezza di questa stima verrebbe calcolata come segue:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1.333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0,0294
Questo ci dà un rapporto finale di 1,333 ± 0,0294 pollici.
Quantità misurata moltiplicata per il numero esatto
Se A è noto esattamente e Q = A x
Allora δQ = |A|δx
Esempio: supponiamo di misurare il diametro di un cerchio come 5 metri ± 0,3 metri. Quindi utilizzi questo valore per calcolare la circonferenza del cerchio c = πd .
La circonferenza verrebbe calcolata come c = πd = π*5 = 15.708 . L’incertezza di questa stima verrebbe calcolata come segue:
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | *0,3
- δQ = 0,942
Quindi la circonferenza del cerchio è 15,708 ± 0,942 metri.
Incertezza in un potere
Se n è un numero esatto e Q = x n
Allora δ Q = | D | *| n | * (δx /x )
Esempio: supponiamo di misurare il lato di un cubo come s = 2 pollici ± 0,02 pollici. Quindi utilizzi questo valore per calcolare il volume del cubo v = s 3 .
Il volume verrebbe calcolato come segue: v = s 3 = 2 3 = 8 pollici 3 . L’incertezza di questa stima verrebbe calcolata come segue:
- δ Q = | D | *| n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Quindi il volume del cubo è 8 ± 0,24 pollici. 3 .
Formula generale di propagazione dell’errore
Se Q = Q(x) è una funzione di x , allora la formula generale di propagazione dell’errore può essere definita come segue:
δQ = |dQ / dX |δx
Tieni presente che raramente avrai bisogno di ricavare queste formule da zero, ma può essere utile conoscere la formula generale utilizzata per ricavarle.
Informazioni sull'autore
Benjamin anderson
Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più