Intervallo di confidenza per una proporzione

Un intervallo di confidenza per una proporzione è un intervallo di valori che probabilmente contiene una proporzione della popolazione con un certo livello di confidenza.

Questo tutorial spiega quanto segue:

• La motivazione per creare un intervallo di confidenza per una proporzione.
• La formula per creare un intervallo di confidenza per una proporzione.
• Un esempio di come calcolare un intervallo di confidenza per una proporzione.
• Come interpretare un intervallo di confidenza per una proporzione.

Intervallo di confidenza per una proporzione: motivazione

La ragione per creare un intervallo di confidenza per una proporzione è catturare la nostra incertezza quando si stima una proporzione della popolazione.

Ad esempio, supponiamo di voler stimare la percentuale di persone in un determinato paese che sono a favore di una determinata legge. Dato che ci sono migliaia di residenti nella contea, sarebbe troppo costoso e dispendioso in termini di tempo andare in giro e chiedere a ciascun residente la sua posizione sulla legge.

Invece, potremmo selezionare un semplice campione casuale di residenti e chiedere a ciascuno se sostiene o meno la legge:

Poiché stiamo selezionando un campione casuale di residenti, non vi è alcuna garanzia che la proporzione di residenti nel campione che sono a favore della legge corrisponda esattamente alla percentuale di residenti nell’intera contea che sono a favore della legge.

Quindi, per catturare questa incertezza, possiamo creare un intervallo di confidenza contenente un intervallo di valori che possano contenere la reale percentuale di residenti favorevoli alla legge nell’intero paese.

Intervallo di confidenza per una proporzione: formula

Usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per una proporzione della popolazione:

Intervallo di confidenza = p +/- z*√ p(1-p) / n

Oro:

• p: proporzione del campione
• z: il valore z scelto
• n: dimensione del campione

Il valore z utilizzato dipende dal livello di confidenza scelto. La tabella seguente mostra il valore z che corrisponde alle scelte del livello di confidenza più comuni:

Si noti che livelli di confidenza più elevati corrispondono a valori z più grandi, il che porta a intervalli di confidenza più ampi.

Ciò significa che, ad esempio, un intervallo di confidenza al 95% sarà più ampio di un intervallo di confidenza al 90% per lo stesso set di dati.

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Intervallo di confidenza per una proporzione: esempio

Supponiamo di voler stimare la percentuale di residenti in una contea che sono favorevoli ad una determinata legge. Selezioniamo un campione casuale di 100 residenti e chiediamo loro quale sia la loro posizione rispetto alla legge. Ecco i risultati:

• Dimensione del campione n = 100
• Proporzione a favore della legge p = 0,56

Ecco come trovare diversi intervalli di confidenza per la proporzione della popolazione:

Intervallo di confidenza al 90%: 0,56 +/- 1,645*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) = [0,478, 0,642]

Intervallo di confidenza al 95%: 0,56 +/- 1,96*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) = [0,463, 0,657]

Intervallo di confidenza al 99%: 0,56 +/- 2,58*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) = [0,432, 0,688]

Nota: puoi anche trovare questi intervalli di confidenza utilizzando l’ intervallo di confidenza per il calcolatore delle proporzioni .

Intervallo di confidenza per una proporzione: interpretazione

Il modo in cui interpreteremmo un intervallo di confidenza è:

C’è una probabilità del 95% che l’intervallo di confidenza di [0,463, 0,657] contenga la reale percentuale di residenti a favore di questa legge.

Un altro modo per dire la stessa cosa è che c’è solo una probabilità del 5% che la percentuale reale della popolazione si trovi al di fuori dell’intervallo di confidenza del 95%.

Cioè, c’è solo una probabilità del 5% che la percentuale reale di residenti della contea che sostengono la legge sia inferiore al 46,3% o superiore al 65,7%.