Proprietà di probabilità

Di Benjamin anderson Agosto 1, 2023 Probabilità 0 commenti

In questo articolo spieghiamo cosa sono le proprietà di probabilità e, inoltre, potrai vedere un esempio concreto di ciascuna proprietà di probabilità.

Quali sono le proprietà della probabilità?

Le proprietà della probabilità sono:

La probabilità di un evento è equivalente a uno meno la probabilità del suo evento opposto.
La probabilità di un evento impossibile è sempre zero.
Se un evento è incluso in un altro evento, la probabilità del primo evento deve essere inferiore o uguale alla probabilità del secondo evento.
La probabilità di unione di due eventi è uguale alla somma della probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente meno la probabilità della loro intersezione.
Dato un insieme di eventi due per due incompatibili, la loro probabilità congiunta viene calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.
La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari in uno spazio campionario è uguale a 1.

Questo è semplicemente un riassunto di quali sono le proprietà fondamentali della probabilità. Di seguito è riportata una spiegazione più dettagliata ed esempi reali di ciascuna proprietà.

Proprietà 1

La probabilità di un evento è equivalente a uno meno la probabilità del suo evento opposto. Pertanto la somma della probabilità di un evento più la probabilità del suo evento opposto è uguale a 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Ad esempio, la probabilità che esca il numero 5 è 0,167, poiché possiamo determinare la probabilità che esca qualsiasi altro numero utilizzando questa proprietà probabilistica:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Proprietà 2

La probabilità di un evento impossibile è 0. Logicamente, se un certo risultato di un esperimento casuale non può verificarsi, la sua probabilità di accadimento è zero.

$P(\varnothing)=0$

Ad esempio, non possiamo ottenere il risultato del numero 7 lanciando un solo dado, quindi la probabilità di questo evento è zero.

$P(7)=0$

Proprietà 3

Se un evento è incluso in un altro evento, la probabilità del primo evento deve essere inferiore o uguale alla probabilità del secondo evento.

Ovviamente, se un evento è compreso in un insieme di eventi, la probabilità che si verifichi il singolo evento non può essere maggiore di quella dell’intero insieme.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Ad esempio, la probabilità che esca il numero 4 è 0,167. D’altra parte, la probabilità di ottenere un numero pari (2, 4, 6) è 0,50. Questa proprietà della teoria della probabilità è quindi soddisfatta.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”2040″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p> Puoi vedere esempi concreti di applicazione di questa proprietà cliccando qui: </p> <div style=$ ➤ Vedi: Esempio risolto della regola dell’addizione

Proprietà 5

Dato un insieme di eventi due per due incompatibili, la loro probabilità congiunta può essere calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Ad esempio, i diversi risultati del lancio di un dado sono eventi incompatibili, perché se si lancia un numero non è possibile ottenerne un altro. Pertanto, per trovare la probabilità di ottenere un numero dispari possiamo aggiungere la probabilità di apparizione di diversi numeri dispari:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Proprietà 6

La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari in uno spazio campionario è uguale a 1.

Ovviamente, un esperimento casuale deve risultare in un evento elementare nello spazio campionario, quindi un evento elementare nello spazio campionario si verificherà sempre, e quindi la probabilità totale che si verifichi nello spazio campionario deve essere del 100%.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

Ad esempio, lo spazio campionario per lanciare un dado è Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, quindi la somma delle probabilità di tutti i possibili risultati è equivalente a 1:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Assiomi di probabilità

Oltre alle proprietà della probabilità che abbiamo appena visto, dobbiamo tenere presente che esistono anche gli assiomi della probabilità, che sono le principali regole che definiscono la probabilità degli eventi.

Quindi gli assiomi della probabilità sono i seguenti:

Assioma della probabilità 1 : La probabilità di un evento non può essere negativa.
Assioma della probabilità 2 : La probabilità di un certo evento è 1.
Assioma della probabilità 3 : La probabilità di un insieme di eventi esclusivi è uguale alla somma di tutte le probabilità.

Puoi saperne di più sugli assiomi della probabilità ed esempi della loro applicazione qui:

➤ Vedi: Assiomi della probabilità

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più