Cos'è la proprietà senza memoria? (definizione & #038; esempio)

In statistica si dice che una distribuzione di probabilità ha una proprietà senza memoria se la probabilità che si verifichi un evento futuro non è influenzata dal verificarsi di eventi passati.

Esistono solo due distribuzioni di probabilità con la proprietà memoryless:

• La distribuzione esponenziale con numeri reali non negativi.
• La distribuzione geometrica con numeri interi non negativi.

Queste due distribuzioni di probabilità vengono utilizzate per modellare il tempo atteso prima che si verifichi un evento.

Si scopre che in un dato momento, sapere quanto tempo è già passato in realtà non ci dice se è più probabile che un evento accada prima o poi.

Gli esempi che seguono ci aiutano ad intuire meglio la proprietà memoryless.

Un’intuizione della proprietà senza memoria

Considera i seguenti esempi:

Non senza memoria

È noto che una certa marca di laptop dura in media circa 6 anni prima di morire. Quindi, se sappiamo che un particolare laptop ha 5 anni, il tempo previsto prima che muoia è piuttosto breve. Tuttavia, se un altro laptop ha solo 1 anno, il tempo previsto fino alla sua morte è piuttosto lungo.

In questo esempio, sapere quanto tempo è trascorso durante la vita di ciascun laptop ci dice per quanto tempo il laptop continuerà a funzionare fino alla morte. Quindi questa distribuzione di probabilità non avrebbe alcuna proprietà senza memoria.

Senza memoria

Immagino che Jessica possieda un minimarket. Vuole sapere quanto tempo dovrà aspettare prima che il prossimo cliente entri nel negozio.

In questo esempio, sapere quando l’ultimo cliente è entrato nel negozio non è realmente utile per prevedere quando entrerà il prossimo cliente, perché ogni cliente è indipendente e mostra un comportamento individuale.

Quindi questa distribuzione di probabilità avrebbe una proprietà senza memoria. In altre parole, la probabilità che si verifichi un evento futuro non è influenzata dal verificarsi di eventi passati.

La proprietà senza memoria: una definizione formale

In termini statistici formali, si dice che una variabile casuale X segue una distribuzione di probabilità con una proprietà senza memoria se per a e b   in {0, 1, 2, …} è vero che:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Ad esempio, supponiamo di avere una distribuzione di probabilità con una proprietà senza memoria e X è il numero di prove fino al primo successo. Se a = 30 e b = 10 allora diremmo:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

In altre parole, se abbiamo avuto 30 prove fallite, allora la probabilità che dovremo aspettare fino alla prova n. 40 o successiva per avere successo è la stessa della probabilità di ricominciare da zero e attendere fino alla prova n. 10. o più per avere successo.

Poiché questa distribuzione di probabilità ha una proprietà senza memoria, ciò significa che conoscere il numero di guasti avuti fino a un certo punto non ci dice ancora sulla probabilità di guasto in futuro.

La proprietà senza memoria: un esempio

Supponiamo che in media 30 clienti all’ora entrino in un negozio e che il tempo tra gli arrivi sia distribuito in modo esponenziale. In media passano 2 minuti tra le visite successive.

Si presuppone che siano trascorsi 10 minuti dall’arrivo dell’ultimo cliente. Dato che si tratta di un periodo di tempo insolitamente lungo, sembrerebbe più probabile che un cliente arrivi entro un minuto.

Tuttavia, poiché la distribuzione esponenziale ha la proprietà di non avere memoria, questo non risulta essere il caso. Il tempo trascorso aspettando l’arrivo del cliente successivo non dipende dal tempo trascorso dall’arrivo dell’ultimo cliente.

Possiamo dimostrarlo utilizzando la CDF della distribuzione esponenziale:

CDF: 1 – e ^-λx

dove λ è calcolato come 1/tempo medio di interarrivo. Nel nostro esempio, λ = 1/2 = 0,5.

Se poniamo a = 10 e b = 1, allora abbiamo:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Indipendentemente da quanto tempo è trascorso dall’arrivo dell’ultimo cliente, la probabilità che passi più di un minuto prima dell’arrivo successivo è 0,6065 .