Prova di idoneità

Di Benjamin anderson Agosto 2, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è un test di bontà di adattamento e a cosa serve nelle statistiche. Mostra anche come eseguire un fit test e, inoltre, potrai vedere un esercizio risolto passo dopo passo.

Cos’è un test di idoneità?

Il test della bontà di adattamento è un test statistico che ci consente di determinare se un campione di dati si adatta o meno a una determinata distribuzione di probabilità . In altre parole, il test di adeguatezza viene utilizzato per verificare se i dati osservati corrispondono a quelli attesi.

Spesso cerchiamo di fare previsioni su un fenomeno e, di conseguenza, abbiamo valori attesi su detto fenomeno che crediamo si verificherà. Dobbiamo però poi raccogliere i dati e verificare se i dati raccolti corrispondono alle nostre aspettative. Pertanto, i test di adeguatezza consentono di decidere, utilizzando un criterio statistico, se i dati attesi e quelli osservati sono simili o meno.

Pertanto il test di bontà di adattamento è un test di ipotesi la cui ipotesi nulla è che i valori osservati siano uguali ai valori attesi, d’altra parte, l’ipotesi alternativa del test indica che i valori osservati sono statisticamente diversi dai valori attesi.

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

In statistica, il test della bontà di adattamento è noto anche come test del chi quadrato , poiché la distribuzione di riferimento del test è la distribuzione chi quadrato.

Formula del test di adattamento

La statistica del test di bontà di adattamento è pari alla somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati e i valori attesi diviso per i valori attesi.

Pertanto, la formula per il test di adeguatezza è la seguente:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Oro:

$\chi^2$

è la statistica del test di bontà di adattamento, che segue una distribuzione chi-quadrato con

$k-1$

gradi di libertà.
$k$

è la dimensione del campione di dati.
$O_i$

è il valore osservato per i dati i.
$E_i$

è il valore atteso per i dati i.

Quindi, dato un livello di significatività

$\alpha$

, la statistica del test calcolata dovrebbe essere confrontata con il valore critico del test per determinare se rifiutare l’ipotesi nulla o l’ipotesi alternativa del test di ipotesi:

Se la statistica del test è inferiore al valore critico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, si rifiuta l’ipotesi alternativa (e si accetta l’ipotesi nulla).
Se la statistica del test è maggiore del valore critico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, si rifiuta l’ipotesi nulla (e si accetta l’ipotesi alternativa).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ Come eseguire un test di adattamento

Per eseguire un test di idoneità, è necessario seguire i seguenti passaggi:

Innanzitutto stabiliamo l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa del test di bontà di adattamento.
In secondo luogo, scegliamo il livello di confidenza , e quindi il livello di significatività , del test di bontà di adattamento.
Successivamente, calcoliamo la statistica del test di bontà di adattamento, la cui formula può essere trovata nella sezione precedente.
Troviamo il valore critico del test di bontà di adattamento utilizzando la tabella di distribuzione chi-quadrato.
Confrontiamo la statistica del test con il valore critico:
- Se la statistica del test è inferiore al valore critico, l’ipotesi alternativa viene rifiutata (e viene accettata l’ipotesi nulla).
- Se la statistica del test è maggiore del valore critico, l’ipotesi nulla viene rifiutata (e l’ipotesi alternativa viene accettata).

Esempio di test di adeguatezza

Il proprietario di un negozio afferma che il 50% delle sue vendite riguarda il prodotto A, il 35% delle sue vendite riguarda il prodotto B e il 15% delle sue vendite riguarda il prodotto C. Tuttavia, le unità vendute di ciascun prodotto sono quelle mostrate in la tabella seguente. Analizzare se i dati teorici del Titolare sono statisticamente differenti dai dati effettivi raccolti.

Prodotto	Vendite osservate (O _i )
Prodotto A	453
Prodotto B	268
Prodotto C	79
Totale	800

Per determinare se i valori osservati sono equivalenti ai valori attesi, eseguiremo un test di bontà di adattamento. L’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa del test sono:

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

In questo caso, utilizzeremo un livello di confidenza del 95% per il test, quindi il livello di significatività sarà del 5%.

$\alpha=0,05$

Per trovare i valori di vendita attesi, dobbiamo moltiplicare la percentuale di vendite previste di ciascun prodotto per il numero di vendite totali effettuate:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,50=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Pertanto, la tabella della frequenza dei problemi è la seguente:

Prodotto	Vendite osservate (O _i )	Vendite previste (E _i )
Prodotto A	453	400
Prodotto B	268	280
Prodotto C	79	120
Totale	800	800

Ora che abbiamo calcolato tutti i valori, applichiamo la formula del test chi quadrato per calcolare la statistica del test:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

Una volta calcolato il valore della statistica del test, utilizziamo la tabella di distribuzione chi-quadrato per trovare il valore critico del test. La distribuzione chi-quadrato ha

$k-1=3-1=2$

gradi di libertà e il livello di significatività

$\alpha=0,05$

,Ancora:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Pertanto, la statistica del test (21,53) è maggiore del valore del test critico (5,991), quindi l’ipotesi nulla viene rifiutata e l’ipotesi alternativa viene accettata. Ciò significa che i dati sono molto diversi e quindi il titolare del negozio si aspettava vendite diverse da quelle effettivamente realizzate.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p></p> </div>  <div class=$

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

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