Prova z

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è il test Z in statistica e a cosa serve. Scoprirai quindi come fare uno Z test, le diverse formule dello Z test ed infine, la differenza tra lo Z test e gli altri test statistici.

Cos’è un test Z?

In statistica, il test Z è un test di ipotesi utilizzato quando la statistica del test segue una distribuzione normale. La statistica ottenuta da un test Z è chiamata statistica Z o valore Z.

La formula dello Z test è sempre la stessa, più precisamente la statistica dello Z test è pari alla differenza tra il valore del campione calcolato e il valore della popolazione proposto diviso per la deviazione standard del parametro della popolazione.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Il test Z viene utilizzato per rifiutare o accettare l’ipotesi nulla dei test di ipotesi in cui la statistica del test segue una distribuzione normale.

Ad esempio, il test Z viene utilizzato per verificare l’ipotesi della media quando la varianza della popolazione è nota al fine di rifiutare o accettare un’ipotesi sul valore della media della popolazione.

➤ Vedi: Cos’è il test di ipotesi?

Tipi di test Z

Si possono distinguere diversi tipi di test Z a seconda del parametro su cui viene eseguito il test di ipotesi:

Test Z per la media.
Test Z per la proporzione.
Test Z per la differenza delle medie.
Test Z per la differenza nelle proporzioni.

Di seguito puoi vedere la formula per ciascun tipo di test Z.

Test Z per la media

La formula del test Z per la media è:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test Z per la media.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore medio proposto.
$\sigma$

è la deviazione standard della popolazione.
$n$

è la dimensione del campione.

Una volta calcolata la statistica del test di ipotesi per la media, il risultato deve essere interpretato per rifiutare o rifiutare l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

I valori critici dello Z test sono ottenuti dalla tabella della distribuzione normale standard.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la media

Test Z per la proporzione

La formula del test Z per la proporzione è:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test Z per la proporzione.
$\widehat{p}$

è la proporzione campionaria.
$p$

è il valore della proporzione proposta.
$n$

è la dimensione del campione.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

è la deviazione standard della proporzione.

Tieni presente che non è sufficiente calcolare la statistica Z test della proporzione, ma devi poi interpretare il risultato ottenuto:

Se il test di ipotesi per la proporzione è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la proporzione

Test Z per la differenza delle medie

La formula per calcolare la statistica del test Z per la differenza tra le medie è:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test Z per la differenza di due medie con varianza nota, che segue una distribuzione normale standard.
$\mu_1$

è la media della popolazione 1.
$\mu_2$

è la media della popolazione 2.
$\overline{x_1}$

è la media del campione 1.
$\overline{x_2}$

è la media del campione 2.
$\sigma_1$

è la deviazione standard della popolazione 1.
$\sigma_2$

è la deviazione standard della popolazione 2.
$n_1$

è la dimensione del campione 1.
$n_2$

è la dimensione del campione 2.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la differenza nelle medie

Test Z per la differenza nelle proporzioni

La formula per calcolare la statistica del test Z per la differenza nelle proporzioni di due popolazioni è:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test Z per la differenza nelle proporzioni.
$p_1$

è la proporzione della popolazione 1.
$p_2$

è la proporzione della popolazione 2.
$\widehat{p_1}$

è la proporzione del campione 1.
$\widehat{p_2}$

è la proporzione campionaria 2.
$n_1$

è la dimensione del campione 1.
$n_2$

è la dimensione del campione 2.
$p_0$

è la proporzione combinata dei due campioni.

La proporzione combinata dei due campioni viene calcolata come segue:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Oro

$x_i$

è il numero di risultati nel campione iy

$n_i$

è la dimensione del campione i.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la differenza nelle proporzioni

Come eseguire un test Z

Ora che abbiamo visto quali sono le diverse formule dello Z test, vediamo come eseguire uno Z test.

I passaggi per eseguire un test Z sono i seguenti.

Definire l’ ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa del test di ipotesi.
Decidere il livello di significatività alfa (α) del test di ipotesi.
Verificare che siano soddisfatti i requisiti per l’utilizzo del test Z.
Applicare la formula del test Z corrispondente e calcolare la statistica del test.
Interpretare il risultato del test Z confrontandolo con il valore del test critico.

Test Z e test t

Infine, vedremo qual è la differenza tra il test Z e il test t, poiché sono sicuramente i due tipi di test di ipotesi più utilizzati in statistica.

Il t-test , chiamato anche t-test di Student , è un test di ipotesi utilizzato quando la popolazione studiata segue una distribuzione normale, ma la dimensione del campione è troppo piccola per conoscere la varianza della popolazione.

Pertanto, la differenza principale tra l’utilizzo del test Z e del test t è se la varianza è nota o meno. Quando la varianza della popolazione è nota si utilizza il test Z, mentre quando la varianza della popolazione non è nota si utilizza il test t.

➤ Vedi: t test (statistiche)

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Cos’è un test Z?

Tipi di test Z

Test Z per la media

Test Z per la proporzione

Test Z per la differenza delle medie

Test Z per la differenza nelle proporzioni

Come eseguire un test Z

Test Z e test t

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