Punteggio z

Questo articolo spiega cos’è il punteggio Z nelle statistiche. Imparerai anche come calcolare il punteggio Z di un titolo, esempi di come viene calcolato e quali sono le caratteristiche dei punteggi Z.

Cos’è il punteggio Z?

Lo Z-score , o Z-score , è un punteggio statistico che indica quante deviazioni standard ha un valore dalla media. Per calcolare un punteggio Z per un valore, sottrai la media da quel valore e poi dividi per la deviazione standard del campione di dati.

Ad esempio, se un valore è due deviazioni standard inferiori alla media aritmetica del set di dati, il punteggio Z per quel valore è -2.

Questo termine statistico è anche chiamato punteggio standard , statistica Z o valore Z.

Il punteggio Z di un valore è molto utile nella verifica delle ipotesi per calcolare i limiti degli intervalli di confidenza e quindi la regione di rifiuto dell’ipotesi nulla.

Formula del punteggio Z

Il punteggio Z è uguale alla differenza tra il valore e la media del set di dati diviso per la deviazione standard. Pertanto, per trovare il punteggio Z, è necessario prima sottrarre la media dal valore e poi dividere il risultato per la deviazione standard.

In breve, la formula del punteggio Z è:

Oro

è il punteggio Z,

è il valore da cui viene calcolato il punteggio Z,

è la media aritmetica e

è la deviazione standard o deviazione tipica.

L’interpretazione del valore del punteggio Z è semplice: il valore del punteggio Z indica il numero di deviazioni standard tra un valore e la media. Pertanto, maggiore è il valore assoluto del punteggio Z, maggiore sarà la deviazione del valore dalla media.

Esempi di punteggi Z

Una volta vista la definizione di Z score, in modo che possiate comprenderne meglio il significato, in questa sezione procediamo a risolvere un esempio in cui vengono calcolati più Z score.

• Calcola i punteggi Z per tutti i seguenti dati: 7, 2, 4, 9, 3

Per prima cosa dobbiamo trovare la media aritmetica dei dati del campione:

In secondo luogo, calcoliamo la deviazione standard della serie di dati:

Infine, applichiamo la formula del punteggio Z per ciascun dato e calcoliamo tutti i punteggi Z:

Il punteggio Z e la regola pratica

Nel caso in cui la distribuzione del campione sia una distribuzione normale , grazie alla regola empirica, possiamo sapere velocemente quale percentuale di valori corrisponde ad un valore calcolando il suo Z score.

Quindi, la regola pratica afferma che in qualsiasi distribuzione normale, è vero quanto segue:

• Il 68% dei valori rientra in una deviazione standard dalla media.
• Il 95% dei valori si trova entro due deviazioni standard dalla media.
• Il 99,7% dei valori rientra nelle tre deviazioni standard della media.

Pertanto, se questa è una distribuzione normale, possiamo dedurre quanto segue dalla regola pratica:

• Se il punteggio Z è inferiore a 1, il valore rientra nel 68% dei valori più alti.
• Se il punteggio Z è maggiore di 1 ma minore di 2, il valore rientra nel 95% dei valori più alti.
• Se il punteggio Z è maggiore di 2 ma minore di 3, il valore rientra nel 99,7% dei valori.

Puoi vedere più valori della regola pratica nella tabella seguente:

Proprietà del punteggio Z

I punteggi Z hanno le seguenti proprietà:

• La media aritmetica di tutti i punteggi Z è sempre 0.
• La deviazione standard dei punteggi Z è 1.
• I punteggi Z sono adimensionali, poiché le unità del numeratore si annullano con le unità del denominatore.
• Se un punteggio Z è positivo, significa che il valore è maggiore della media campionaria. Se invece lo Z score è negativo, significa che il valore è inferiore alla media campionaria.
• I punteggi Z sono molto utili per confrontare diverse distribuzioni.