Quintili (statistiche)

Di Benjamin anderson Agosto 5, 2023 Statistiche 0 commenti

In questo articolo spieghiamo cosa sono i quintili e come si calcolano. Troverai diversi esempi risolti di calcolo dei quintili e, inoltre, potrai calcolare i quintili di qualsiasi campione statistico con un calcolatore online.

Cosa sono i quintili?

In statistica, i quintili sono quattro valori che dividono un set di dati in cinque parti uguali. Pertanto, il primo, secondo, terzo e quarto quintile rappresentano rispettivamente il 20%, 40%, 60% e 80% dei dati del campione.

Cioè, il valore del terzo quintile, ad esempio, è superiore al 60% di tutti i dati raccolti, ma inferiore al resto dei dati.

Il simbolo dei quintili è la lettera maiuscola K con l’indice dei quintili, ovvero il primo quintile è K ₁ , il secondo quintile è K ₂ , il terzo quintile è K ₃ e il quarto quintile è K ₄ . Anche se può essere rappresentato anche dalla lettera Q (sconsigliato perché genera confusione con i quartili).

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare i quintili per qualsiasi set di dati.

I quintili sono una misura della posizione non centrale insieme a quartili, decili e percentili. Se sei più interessato, puoi verificare cosa significa ciascuno di questi tipi di quantili sul nostro sito web.

Va notato che il quintile può avere un’altra definizione. In economia, i quintili rappresentano la percentuale di una popolazione ordinata in base al reddito o, in altre parole, classificano una popolazione in base ai livelli di reddito. Ad esempio, il primo quintile corrisponde al 20% più povero della popolazione, il secondo quintile corrisponde al 40% della popolazione con il reddito più basso e così via.

Come calcolare i quintili

Per calcolare la posizione dei quintili di un campione o di una popolazione statistica, è necessario moltiplicare il numero di quintili per la somma del numero totale di dati più uno e dividere il risultato per cinque.

Pertanto la formula per i quintili è:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{5} \qquad k=1, 2, 3,4$

Nota: il risultato di questa formula ci dice la posizione del quintile, non il suo valore. Il quintile sarà quindi il dato situato nella posizione ottenuta dalla formula.

Tuttavia, a volte il risultato di questa formula ci darà un numero decimale, dobbiamo quindi distinguere due casi a seconda che il risultato sia un numero decimale o meno:

Se il risultato della formula è un numero senza parte decimale , il quintile è il dato situato nella posizione prevista dalla formula sopra.
Se il risultato della formula è un numero con parte decimale , il valore del quintile viene calcolato utilizzando la seguente espressione:

$K=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Dove x _i e x _i+1 sono i numeri delle posizioni tra le quali si trova il numero ottenuto dalla prima formula, e d è la parte decimale del numero ottenuto dalla prima formula.

Se ti sei spaventato vedendo così tanti passaggi per determinare i quintili di un set di dati, non preoccuparti, in realtà è abbastanza semplice. Leggi i due esempi seguenti e sicuramente capirai molto meglio.

Nota : la comunità statistica non è ancora del tutto d’accordo su come vengono calcolati i quintili, quindi potresti trovare un libro che lo spiega in modo leggermente diverso.

Esempi di calcolo dei quintili

Di seguito vi lasciamo due esercizi risolti passo passo su come ottenere quintili da una serie di dati. Quindi, così puoi vedere i due casi possibili, nel primo esercizio i risultati non sono decimali e nel secondo esercizio lo sono.

Esempio 1

Calcolare i quintili delle seguenti serie di dati:

Come hai visto nella spiegazione sopra, la formula per trovare la posizione dei quintili è:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{5} \qquad k=1, 2, 3,4$

Il parametro n si riferisce al numero totale di dati, che è 49, quindi per trovare la posizione del primo quintile dobbiamo sostituire la n con 49 e la k con 1:

$\cfrac{1\cdot (49+1)}{5}=10 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad K_1=205$

Dalla formula abbiamo ottenuto il numero 10, ciò significa che il quintile si trova nella decima posizione dell’elenco ordinato, che corrisponde al dato 205.

Per calcolare il secondo quintile è necessario utilizzare la stessa formula sostituendo però k con 2:

$\cfrac{2\cdot (49+1)}{5}=20 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad K_2=236$

Il secondo quintile si trova quindi alla posizione numero 20 della lista ordinata, cioè al valore 236.

Ancora una volta ripetiamo il processo per determinare il quintile 3 ma, logicamente, ora sostituiamo la k con 3:

$\cfrac{3\cdot (49+1)}{5}=30 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad K_3=266$

Pertanto, il terzo quintile sono i dati situati nella posizione 30, che corrisponde a 266.

Infine applichiamo nuovamente la formula per calcolare il quarto quintile:

$\cfrac{4\cdot (49+1)}{5}=40 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad K_4=286$

Il quarto quintile è quindi nella posizione 40, quindi il quarto quintile è 286.

Esempio 2

Calcolare i quattro quintili dei dati statistici raccolti nella seguente tabella:.

Analogamente all’esempio precedente, per ottenere le posizioni dei quintili è necessario utilizzare la seguente formula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{5} \qquad k=1, 2, 3,4$

In questo caso la dimensione del campione è di 42 osservazioni, quindi per trovare la posizione del primo quintile dobbiamo sostituire il parametro n con 42 e il k con 1:

$\cfrac{1\cdot (42+1)}{5}=8,6$

Tuttavia, a differenza del primo esempio, questa volta la formula ci fornisce un numero decimale, quindi dobbiamo applicare la seguente formula per calcolare il quintile esatto:

$K=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Il numero ottenuto dalla prima formula è 8,6, quindi il primo quintile è compreso tra l’ottavo e il nono dato, che sono rispettivamente 78 e 79. Pertanto x _i è 78, x _i+1 è 79 e d è la parte decimale del numero ottenuto, cioè 0,6.

$K_1=78+0,6\cdot (79-78)=78,6$

Ora eseguiamo nuovamente la stessa identica procedura per trovare il secondo quintile. Per prima cosa calcoliamo la sua posizione:

$\cfrac{2\cdot (42+1)}{5}=17,2$

Ma dalla formula si ottiene un numero decimale compreso tra 17 e 18 per cui il secondo quintile si troverà tra la diciassettesima e la diciottesima posizione, i cui valori corrispondono rispettivamente a 109 e 112 della lista ordinata. Pertanto, applichiamo la seconda formula nel processo per determinare l’esatto valore del quintile:

$K_2=109+0,2\cdot (112-109)=109,6$

Ripetiamo il metodo per ottenere il terzo quintile, determiniamo prima la sua posizione:

$\cfrac{3\cdot (42+1)}{5}=25,8$

Il numero calcolato 25,8 significa che il valore del quintile sarà compreso tra la venticinquesima e la ventiseiesima posizione, i cui valori sono 134 e 141. Il calcolo del valore esatto del quintile è quindi:

$K_3=134+0,8\cdot (141-134)=139,6$

Infine, ripetiamo la stessa procedura un’ultima volta per calcolare il quintile 4. Troviamo prima la sua posizione:

$\cfrac{4\cdot (42+1)}{5}=34,4$

Il valore esatto del quarto quintile sarà quindi compreso tra 34 e 35, le cui posizioni corrispondono ai dati 172 e 179. Il calcolo del quarto quintile sarà quindi:

$K_4=172+0,4\cdot (179-172)=174,8$

Calcolatore del quintile

Inserisci un set di dati statistici nella seguente calcolatrice per calcolare i quintili. I dati devono essere separati da uno spazio e inseriti utilizzando il punto come separatore decimale.

Quintili nei dati raggruppati

Per calcolare i quintili quando i dati vengono raggruppati in intervalli, devi prima trovare il relativo intervallo o classe utilizzando la seguente formula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{5} \qquad k=1, 2, 3,4$

Il quintile si troverà quindi nell’intervallo la cui frequenza assoluta è immediatamente maggiore del numero ottenuto con l’espressione precedente.

E una volta conosciuto l’intervallo a cui appartiene il quintile, dobbiamo applicare la seguente formula per trovare il valore esatto del quintile:

$K_k=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{5}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3,4$

Oro:

L _i è il limite inferiore dell’intervallo in cui si trova il quintile.
n è il numero totale di osservazioni.
F _i-1 è la frequenza assoluta cumulativa dell’intervallo precedente.
f _i è la frequenza assoluta dell’intervallo in cui si trova il quintile.
I _i è la larghezza dell’intervallo del quintile.

Per vedere come si fa, ecco un esempio risolto di calcolo dei quintili delle seguenti serie di dati raggruppate in intervalli:

insieme di dati raggruppati in intervalli

Poiché i dati sono raggruppati, dobbiamo utilizzare il seguente metodo per calcolare i quintili: determinare prima l’intervallo in cui rientra il quintile, quindi trovare il valore esatto del quintile.

Pertanto, per trovare l’intervallo in cui si trova il primo quintile, utilizziamo la seguente formula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{5}$

$\cfrac{1\cdot (150+1)}{5} =30,2 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [150,200)$

Il primo quintile sarà nell’intervallo la cui frequenza assoluta cumulativa è immediatamente maggiore di 30,2, in questo caso è l’intervallo [150,200) la cui frequenza assoluta cumulativa è 42. E una volta conosciuto l’intervallo del quintile, applichiamo la seconda formula del processo per determinarne il valore esatto:

$K_k=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{5}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$K_1=150+\cfrac{\displaystyle\frac{1\cdot (150+1)}{5}-18}{24}\cdot 50=175,42$

Ora ripetiamo lo stesso procedimento per ottenere il secondo quintile, calcolando prima l’intervallo in cui si trova:

$\cfrac{2\cdot (150+1)}{5} =60,4 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [200,250)$

La frequenza assoluta cumulativa immediatamente superiore a 60,4 è 75, quindi l’intervallo del secondo quintile è [200 250). Pertanto, sostituiamo i valori corrispondenti nella seconda formula per calcolare il valore esatto del quintile:

$K_2=200+\cfrac{\displaystyle\frac{2\cdot (150+1)}{5}-42}{33}\cdot 50=227,88$

Facciamo la stessa procedura una terza volta per ottenere il quintile 3. Per prima cosa determiniamo l’intervallo in cui si trova il quintile:

$\cfrac{3\cdot (150+1)}{5} =90,6 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [250,300)$

Il quintile si trova nell’intervallo [250.300) perché la sua frequenza assoluta cumulativa (102) è quella immediatamente superiore a 90,6. Il calcolo del valore esatto del terzo quintile è quindi il seguente:

$K_3=250+\cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (150+1)}{5}-75}{27}\cdot 50=278,89$

Infine troveremo il quarto quintile. Come sempre, troviamo prima il suo intervallo:

$\cfrac{4\cdot (150+1)}{5} =120,8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [300,350)$

L’intervallo la cui frequenza assoluta è immediatamente maggiore di 120,8 è [300,350), il cui valore è 130. Il valore esatto del quarto quintile sarà quindi:

$K_4=300+\cfrac{\displaystyle\frac{4\cdot (150+1)}{5}-102}{28}\cdot 50=333,57$

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Cosa sono i quintili?

Come calcolare i quintili

Esempi di calcolo dei quintili

Esempio 1

Esempio 2

Calcolatore del quintile

Quintili nei dati raggruppati

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