La regola generale della moltiplicazione (spiegazione ed esempi)

La regola generale della moltiplicazione afferma che la probabilità che due eventi qualsiasi, A e B, si verifichino entrambi può essere calcolata come segue:

P(A e B) = P(A) * P(B|A)

La barra verticale | significa “dato”. Pertanto, P(B|A) può essere letta come “la probabilità che si verifichi B, dato che A si è verificato”.

Se gli eventi A e B sono indipendenti, allora P(B|A) è semplicemente uguale a P(B) e la regola può essere semplificata come segue:

P(A e B) = P(A) * P(B)

Rivediamo alcuni esempi di eventi indipendenti e dipendenti per vedere come possiamo applicare nella pratica questa regola generale di moltiplicazione.

La regola generale della moltiplicazione per eventi dipendenti

Gli esempi seguenti illustrano come utilizzare la regola generale della moltiplicazione per trovare le probabilità relative a due eventi dipendenti. In ogni esempio, la probabilità che si verifichi il secondo evento è influenzata dal risultato del primo evento.

Esempio 1: palline in un’urna

Un’urna contiene 4 palline rosse e 3 palline verdi. Bob selezionerà casualmente 2 palline dall’urna, senza sostituirle. Qual è la probabilità che scelga 2 palline rosse?

Soluzione: la probabilità che estragga una pallina rossa al primo tentativo è 4/7. Una volta rimossa questa pallina, la probabilità che egli scelga una pallina rossa al secondo tentativo è 3/6. Quindi la probabilità che esca 2 palline rosse può essere calcolata come segue:

P (entrambi rossi) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Esempio 2: carte in un mazzo

Un mazzo di carte contiene 26 carte nere e 26 carte rosse. Debbie selezionerà casualmente 2 carte dal mazzo, senza sostituirle. Qual è la probabilità che scelga 2 cartellini rossi?

Soluzione: la probabilità che scelga un cartellino rosso al primo tentativo è 26/52. Una volta rimossa questa carta, la probabilità che lei scelga una carta rossa al secondo tentativo è 25/51. Quindi la probabilità che esgga 2 cartellini rossi può essere calcolata come segue:

P (entrambi rossi) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

La regola generale della moltiplicazione per eventi indipendenti

Gli esempi seguenti illustrano come utilizzare la regola generale della moltiplicazione per trovare le probabilità relative a due eventi indipendenti. In ciascun esempio, la probabilità che si verifichi il secondo evento non è influenzata dall’esito del primo evento.

Esempio 1: lancia due monete

Supponiamo di estrarre due monete. Qual è la probabilità che le due monete escano testa?

Soluzione: La probabilità che la prima moneta esca testa è 1/2. Indipendentemente da quale lato esca la prima moneta, anche la probabilità che la seconda moneta esca testa è 1/2. Pertanto, la probabilità che le due monete escano testa può essere calcolata come segue:

P (entrambi atterrano sulla testa) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Esempio 2: lancia due dadi

Supponiamo di lanciare due dadi contemporaneamente. Qual è la probabilità che entrambi i dadi escano sul numero 1?

Soluzione: La probabilità che il primo dado cada su “1” è 1/6. Indipendentemente da quale lato esca il primo dado, anche la probabilità che il secondo dado esca su “1” è 1/6. Quindi la probabilità che entrambi i dadi finiscano su “1” può essere calcolata come segue:

P(Entrambi finiscono su “1”) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278