Cosa sono i residui di pearson? (definizione & #038; esempio)

I residui di Pearson vengono utilizzati in un test di indipendenza chi quadrato per analizzare la differenza tra il numero di cellule osservato e il numero di cellule previsto in una tabella di contingenza.

La formula per calcolare un residuo di Pearson è:

r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ E _ij

Oro:

• r _ij : Il residuo di Pearson per la cella della i- ^esima colonna e della j- ^esima riga
• O _ij : Il valore osservato per la cella della i- ^esima colonna e della j ^-esima riga
• E _ij : il valore previsto per la cella della i- ^esima colonna e della j- ^esima riga

Una misura simile è il residuo di Pearson standardizzato (aggiustato) , che viene calcolato come segue:

r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ E _ij (1-n _i+ )(1-n _+j )

Oro:

• r _ij : Il residuo di Pearson per la cella della i- ^esima colonna e della j- ^esima riga
• O _ij : Il valore osservato per la cella della i- ^esima colonna e della j ^-esima riga
• E _ij : il valore previsto per la cella della i- ^esima colonna e della j- ^esima riga
• p _i+ : il totale della riga diviso per il totale generale
• p _{+ j} : il totale della colonna diviso per il totale generale

I residui di Pearson standardizzati sono normalmente distribuiti con una media di 0 e una deviazione standard di 1. Qualsiasi residuo di Pearson standardizzato con un valore assoluto superiore a determinate soglie (ad esempio 2 o 3) indica una mancanza di adattamento.

L’esempio seguente mostra come calcolare nella pratica i residui di Pearson.

Esempio: calcolo dei residui di Pearson

Supponiamo che i ricercatori vogliano utilizzare un test di indipendenza chi-quadrato per determinare se il genere è associato o meno alla preferenza per un partito politico.

Decidono di prendere un semplice campione casuale di 500 elettori e chiedere loro quale sia la loro preferenza per il partito politico.

La seguente tabella di contingenza presenta i risultati dell’indagine:

Prima di calcolare i residui di Pearson, dobbiamo prima calcolare i conteggi attesi per ciascuna cella nella tabella di contingenza. Per fare ciò possiamo utilizzare la seguente formula:

Valore previsto = (somma delle righe * somma delle colonne) / somma della tabella.

Ad esempio, il valore atteso per gli uomini repubblicani è: (230*250) / 500 = 115 .

Possiamo ripetere questa formula per ottenere il valore atteso per ciascuna cella della tabella:

Quindi possiamo calcolare il residuo di Pearson per ciascuna cella nella tabella.

Ad esempio, il residuo di Pearson per la cella contenente uomini repubblicani verrebbe calcolato come segue:

• r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ E _ij
• r _ij = (120 – 115) / √ 115
• r _ij = 0,466

Possiamo ripetere questa formula per ottenere il residuo di Pearson per ogni cella della tabella:

Quindi possiamo calcolare il residuo Pearson standardizzato per ciascuna cella nella tabella.

Ad esempio, il residuo di Pearson standardizzato per la cella contenente uomini repubblicani verrebbe calcolato come segue:

• r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ E _ij (1-p _i+ )(1-p _+j )
• r _ij = (120 – 115) / √ 115(1-250/500)(1-230/500)
• r _ij = 0,897

Possiamo ripetere questa formula per ottenere il residuo di Pearson standardizzato per ogni cella della tabella:

Possiamo vedere che nessuno dei residui di Pearson standardizzati ha un valore assoluto maggiore di 3, indicando che nessuna delle celle contribuisce a una significativa mancanza di adattamento.

Se utilizziamo questo calcolatore online per eseguire un test di indipendenza del chi quadrato, scopriremo che il valore p del test è 0,649198 .

Poiché questo valore p non è inferiore a 0,05, non abbiamo prove sufficienti per affermare che esista un’associazione tra genere e preferenza del partito politico.

Risorse addizionali

I seguenti tutorial spiegano come eseguire un test di indipendenza chi-quadrato utilizzando diversi software statistici:

Un’introduzione al test di indipendenza del chi quadrato
Come eseguire un test di indipendenza del chi quadrato in Excel
Come eseguire un test di indipendenza del chi quadrato in R
Calcolatore del test di indipendenza chi quadrato