Cos'è un test omnibus? (definizione ed esempi)

In statistica, un test omnibus è qualsiasi test statistico che verifica contemporaneamente la significatività di diversi parametri di un modello.

Ad esempio, supponiamo di avere le seguenti ipotesi nulle e alternative:

H ₀ : μ ₁ = μ ₂ = μ ₃ = … = μ _k (tutte le medie della popolazione sono uguali)

H _A : Almeno una media della popolazione è diversa dalle altre

Questo è un esempio di test omnibus perché l’ipotesi nulla contiene più di due parametri.

Se rifiutiamo l’ipotesi nulla, sappiamo che almeno una media di popolazione è diversa dalle altre, ma non sappiamo nello specifico quali medie di popolazione sono diverse.

Un test omnibus appare più spesso nei modelli ANOVA e nei modelli di regressione lineare multipla .

Questo tutorial fornisce un esempio di test omnibus in un modello ANOVA unidirezionale e di regressione lineare multipla.

Test omnibus in un’ANOVA unidirezionale

Supponiamo che un professore voglia sapere se tre diversi programmi di preparazione ai test portano a punteggi diversi. Per testarlo, assegna in modo casuale 10 studenti a utilizzare ciascun programma di preparazione ai test per un mese, quindi somministra lo stesso esame agli studenti di ciascun gruppo.

Di seguito sono riportati i risultati degli esami per ciascun gruppo:

Per determinare se ciascun programma di preparazione porta agli stessi risultati dell’esame, esegue un’ANOVA unidirezionale utilizzando le seguenti ipotesi nulle e alternative:

_H0 : _µ1 = _µ2 = _µ3

H _A : Almeno un programma di preparazione all’esame porta a voti medi diversi rispetto agli altri.

Questo è un esempio di test omnibus perché l’ipotesi nulla ha più di due parametri.

Utilizzando un calcolatore ANOVA unidirezionale , è in grado di produrre la seguente tabella ANOVA:

Per determinare se può rifiutare o meno l’ipotesi nulla, deve semplicemente guardare la statistica del test F e il corrispondente valore p nella tabella.

La statistica del test F è 2,358 e il valore p corrispondente è 0,11385 . Poiché questo valore p non è inferiore a 0,05, non riesce a rifiutare l’ipotesi nulla.

In altre parole, non ci sono prove sufficienti per affermare che uno qualsiasi dei programmi di preparazione agli esami porti a punteggi medi degli esami diversi.

Nota: se il valore p fosse inferiore a 0,05, il professore rifiuterebbe l’ipotesi nulla. Potrebbe quindi condurre test post-hoc per determinare esattamente quali programmi hanno prodotto diversi punteggi medi negli esami.

Test omnibus in un modello di regressione lineare multipla

Supponiamo che un professore voglia determinare se il numero di ore studiate e il numero di esami pratici sostenuti possono prevedere il voto che uno studente riceverà all’esame.

Per testarlo, raccoglie dati su 20 studenti e adatta il seguente modello di regressione lineare multipla:

Punteggio esame = β ₀ + β ₁ (ore) + β ₂ (esami preparatori)

Questo modello di regressione utilizza le seguenti ipotesi nulle e alternative:

_H0 : _β1 = _β2 = 0

H _A : Almeno un coefficiente non è uguale a zero.

Questo è un esempio di test omnibus perché l’ipotesi nulla verifica se più di un parametro alla volta è uguale a zero.

Il seguente output di regressione in Excel mostra i risultati di questo modello di regressione:

Per determinare se può rifiutare o meno l’ipotesi nulla, deve semplicemente guardare la statistica del test F e il corrispondente valore p nella tabella.

La statistica del test F è 23,46 e il valore p corrispondente è 0,00 . Poiché questo valore p è inferiore a 0,05, è possibile rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che almeno uno dei coefficienti nel modello non è uguale a zero.

Tuttavia, il semplice rifiuto dell’ipotesi nulla di questo test omnibus non indica in realtà quali coefficienti nel modello non siano uguali a zero. Per determinarlo, deve esaminare i valori p dei singoli coefficienti nel modello:

• Valore P delle ore: 0,00
• Valore P degli esami preparatori: 0,52

Questo gli dice che le ore sono un fattore predittivo statisticamente significativo del voto dell’esame, mentre gli esami pratici non lo sono.

Riepilogo

Ecco un riepilogo di ciò che abbiamo imparato in questo articolo:

• Un test omnibus viene utilizzato per verificare la significatività di diversi parametri del modello contemporaneamente.
• Se rifiutiamo l’ipotesi nulla di un test omnibus, sappiamo che almeno un parametro nel modello è significativo.
• Se rifiutiamo l’ipotesi nulla di un modello ANOVA, possiamo utilizzare test post hoc per determinare quali medie della popolazione sono effettivamente diverse.
• Se rifiutiamo l’ipotesi nulla di un modello di regressione lineare multipla, possiamo esaminare i valori p dei singoli coefficienti nel modello per determinare quali sono statisticamente significativi.

Risorse addizionali

I seguenti tutorial spiegano come eseguire ANOVA unidirezionale e regressione lineare multipla in Excel:

Come eseguire ANOVA unidirezionale in Excel
Come eseguire una regressione lineare multipla in Excel