Come calcolare sst, ssr e sse in r

Utilizziamo spesso tre diversi valori di somma dei quadrati per misurare quanto bene una linea di regressione si adatta effettivamente a un set di dati:

1. Somma dei quadrati totali (SST) – La somma dei quadrati delle differenze tra i singoli punti dati (y _i ) e la media della variabile di risposta ( y ).

• SST = Σ(y _i – y ) ²

2. Regressione della somma dei quadrati (SSR) – La somma dei quadrati delle differenze tra i punti dati previsti (ŷ _i ) e la media della variabile di risposta ( y ).

• SSR = Σ(ŷ _i – y ) ²

3. Errore della somma dei quadrati (SSE) – La somma dei quadrati delle differenze tra i punti dati previsti (ŷ _i ) e i punti dati osservati (y _i ).

• SSE = Σ(ŷ _i – y _i ) ²

Il seguente esempio passo passo mostra come calcolare ciascuno di questi parametri per un dato modello di regressione in R.

Passaggio 1: creare i dati

Innanzitutto, creiamo un set di dati contenente il numero di ore studiate e i punteggi degli esami ottenuti per 20 studenti diversi in un determinato college:

 #create data frame
df <- data. frame (hours=c(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3,
                         3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8),
                 score=c(68, 76, 74, 80, 76, 78, 81, 84, 86, 83,
                         88, 85, 89, 94, 93, 94, 96, 89, 92, 97))

#view first six rows of data frame
head(df)

  hours score
1 1 68
2 1 76
3 1 74
4 2 80
5 2 76
6 2 78

Passaggio 2: adattare un modello di regressione

Successivamente, utilizzeremo la funzione lm() per adattare un semplice modello di regressione lineare utilizzando il punteggio come variabile di risposta e le ore come variabile predittrice:

 #fit regression model
model <- lm(score ~ hours, data = df)

#view model summary
summary(model)

Call:
lm(formula = score ~ hours, data = df)

Residuals:
    Min 1Q Median 3Q Max 
-8.6970 -2.5156 -0.0737 3.1100 7.5495 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 73.4459 1.9147 38.360 < 2nd-16 ***
hours 3.2512 0.4603 7.063 1.38e-06 ***
---
Significant. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.289 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7348, Adjusted R-squared: 0.7201 
F-statistic: 49.88 on 1 and 18 DF, p-value: 1.378e-06

Passaggio 3: calcolare SST, SSR e SSE

Possiamo utilizzare la seguente sintassi per calcolare SST, SSR e SSE:

 #find sse
sse <- sum (( fitted (model) - df$score)^2)
sse

[1] 331.0749

#find ssr
ssr <- sum (( fitted (model) - mean (df$score))^2)
ssr

[1] 917.4751

#find sst
sst <- ssr + sse
sst

[1] 1248.55

Le metriche risultano essere:

• Somma totale dei quadrati (SST): 1248,55
• Regressione della somma dei quadrati (SSR): 917.4751
• Errore somma dei quadrati (SSE): 331.0749

Possiamo verificare che SST = SSR + SSE:

• SST = SSR + SSE
• 1248.55 = 917.4751 + 331.0749

Possiamo anche calcolare manualmente l’ R quadrato del modello di regressione:

• R al quadrato = SSR/SST
• R al quadrato = 917,4751 / 1248,55
• R al quadrato = 0,7348

Questo ci dice che il 73,48% della variazione dei punteggi degli esami è spiegabile con il numero di ore studiate.

Risorse addizionali

È possibile utilizzare i seguenti calcolatori per calcolare automaticamente SST, SSR e SSE per qualsiasi linea di regressione lineare semplice:

Calcolatore SST
Calcolatore RSS
Calcolatore ESS