Statistiche di contrasto

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è una statistica di contrasto, quali sono le formule più comuni per le statistiche di contrasto e, inoltre, la relazione tra statistica di contrasto, regione di rifiuto e regione di accettazione.

Qual è la statistica del contrasto?

La statistica di contrasto è una variabile con una distribuzione di probabilità nota correlata all’ipotesi di studio. Nello specifico, la statistica di contrasto viene utilizzata nei test di ipotesi per rifiutare o accettare l’ipotesi nulla.

Infatti, la decisione se rifiutare o meno l’ipotesi nulla di un test di ipotesi si basa sul valore della statistica del test. Se il valore della statistica test rientra nella regione di rifiuto, l’ipotesi nulla viene rifiutata. mentre se il valore della statistica test rientra nella regione di accettazione, viene accettata l’ipotesi nulla.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi (statistiche)

Formule per la statistica del contrasto

A seconda del tipo di test di ipotesi, la distribuzione della statistica del test è diversa. La formula per la statistica del test dipende quindi anche dal tipo di verifica delle ipotesi. Quindi di seguito vedremo come viene calcolata la statistica del test a seconda del tipo di test di ipotesi.

Statistica di contrasto per la media

La formula per la statistica di verifica dell’ipotesi per la media con varianza nota è:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test di ipotesi per la media.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore medio proposto.
$\sigma$

è la deviazione standard della popolazione.
$n$

è la dimensione del campione.

Una volta calcolata la statistica di contrasto dell’ipotesi per la media, il risultato deve essere interpretato per rifiutare o rifiutare l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

In questo caso i valori critici si ottengono dalla tabella della distribuzione normale standardizzata.

D’altra parte, la formula per la statistica di verifica dell’ipotesi per la media con varianza sconosciuta è:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$t$

è la statistica del test di ipotesi per la media, che è definita dalla distribuzione t di Student.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore medio proposto.
$s$

è la deviazione standard del campione.
$n$

è la dimensione del campione.

Come prima, il risultato calcolato della statistica di contrasto deve essere interpretato con il valore critico per rifiutare o meno l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico t _α/2|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico t _α|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Quando la varianza è sconosciuta, i valori critici del test si ottengono dalla tabella di distribuzione di Student.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la media

Statistica di contrasto per proporzione

La formula per la statistica del test di ipotesi per la proporzione è:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test di ipotesi per la proporzione.
$\widehat{p}$

è la proporzione campionaria.
$p$

è il valore proporzionale proposto.
$n$

è la dimensione del campione.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

è la deviazione standard della proporzione.

Tieni presente che non è sufficiente calcolare la statistica del test di ipotesi per la proporzione, ma il risultato deve poi essere interpretato:

Se il test di ipotesi per la proporzione è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Ricorda che i valori critici possono essere facilmente ottenuti dalla tabella della distribuzione normale standard.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la proporzione

Statistica di contrasto per la varianza

La formula per calcolare la statistica del test di ipotesi per la varianza è:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Oro:

$\chi^2$

è l’ipotesi che verifica la statistica della varianza, che ha una distribuzione chi-quadrato.
$n$

è la dimensione del campione.
$s^2$

è la varianza campionaria.
$\sigma^2$

è la varianza della popolazione proposta.

Per interpretare il risultato della statistica, il valore ottenuto deve essere confrontato con il valore critico del test.

Se il test di ipotesi per la varianza è a due code, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

o se il valore critico è inferiore a

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Se il test di ipotesi per la varianza corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Se il test di ipotesi per la varianza corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

I valori del test dell’ipotesi critica per la varianza sono ottenuti dalla tabella di distribuzione del chi-quadrato. Si noti che i gradi di libertà della distribuzione Chi-quadrato corrispondono alla dimensione del campione meno 1.

➤ Vedi: Verifica dell’ipotesi di varianza

Statistica di contrasto, regione di rifiuto e regione di accettazione

In un test di ipotesi, la regione di rifiuto è la regione del grafico della distribuzione della statistica test che implica il rifiuto dell’ipotesi nulla (e l’accettazione dell’ipotesi alternativa). D’altra parte, la regione di accettazione è la regione del grafico di distribuzione della statistica test che implica l’accettazione dell’ipotesi nulla (e il rifiuto dell’ipotesi alternativa).

Pertanto, il valore della statistica di contrasto determina il risultato di un test di ipotesi nel modo seguente:

Se la statistica test rientra nella regione di rifiuto, l’ipotesi nulla viene rifiutata e viene accettata l’ipotesi alternativa.
Se la statistica del test rientra nella regione di accettazione, l’ipotesi nulla viene accettata e l’ipotesi alternativa viene rifiutata.

I valori che separano la regione di rifiuto dalla regione di accettazione sono detti valori critici . Pertanto, dobbiamo calcolare i valori critici per conoscere i confini della regione di rifiuto e della regione di accettazione e quindi sapere quando rifiutare e quando accettare l’ipotesi nulla.

➤ Vedi: Valore critico

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Qual è la statistica del contrasto?

Formule per la statistica del contrasto

Statistica di contrasto per la media

Statistica di contrasto per proporzione

Statistica di contrasto per la varianza

Statistica di contrasto, regione di rifiuto e regione di accettazione

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