Teoria della probabilità

Questo articolo spiega cos’è la teoria della probabilità e a cosa serve. Quindi troverai i concetti di base della teoria della probabilità così come le proprietà e le leggi della teoria della probabilità.

Cos’è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è un insieme di regole e proprietà utilizzate per calcolare la probabilità di un fenomeno casuale. Pertanto, la teoria della probabilità ci consente di sapere quale risultato di un esperimento casuale ha maggiori probabilità di verificarsi.

Tieni presente che un fenomeno casuale è un risultato che può essere ottenuto da un esperimento il cui esito non può essere previsto, ma dipende dal caso. La teoria della probabilità è quindi un insieme di leggi che ci permettono di determinare la probabilità che si verifichi un fenomeno casuale.

Ad esempio, quando lanciamo una moneta, possiamo ottenere due possibili risultati: testa o croce. Bene, possiamo usare la teoria della probabilità per calcolare la probabilità che esca testa, che in questo caso è del 50%.

Nel corso della storia, molte persone hanno contribuito allo sviluppo della teoria della probabilità, tra cui spiccano Cardano, Laplace, Gauss e Kolmogorov.

Nozioni di base sulla teoria della probabilità

Spazio campione

Nella teoria della probabilità, lo spazio campionario è l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale.

Il simbolo dello spazio campionario è la lettera greca maiuscola Omega (Ω), sebbene possa anche essere rappresentato dalla lettera maiuscola E.

Ad esempio, lo spazio campionario per lanciare un dado è:

Evento

Nella teoria della probabilità, un evento (o occorrenza) è ogni possibile risultato di un esperimento casuale. Pertanto, la probabilità di un evento è un valore che indica la probabilità che si verifichi un risultato.

Ad esempio, nel lancio di una moneta si verificano due eventi: “testa” e “croce”.

Esistono diverse tipologie di eventi:

• Evento elementare (o evento semplice): ciascuno dei possibili risultati dell’esperimento.
• Evento composito: questo è un sottoinsieme dello spazio campionario.
• Evento certo: questo è il risultato di un’esperienza casuale che si verificherà sempre.
• Evento impossibile: questo è il risultato di un esperimento casuale che non accadrà mai.
• Eventi compatibili: due eventi sono compatibili quando hanno in comune un evento elementare.
• Eventi incompatibili: due eventi sono incompatibili quando non condividono alcun evento elementare.
• Eventi indipendenti: due eventi sono indipendenti se la probabilità che si verifichi uno non influenza la probabilità dell’altro.
• Eventi dipendenti: due eventi sono dipendenti se la probabilità che si verifichi uno modifica la probabilità che si verifichi l’altro.
• Evento contrario ad altro: quell’evento che si verifica quando l’altro evento non si verifica.

Assiomi di probabilità

Gli assiomi della probabilità sono:

1. Assioma della probabilità 1 : La probabilità di un evento non può essere negativa.



2. Assioma della probabilità 2 : La probabilità di un certo evento è 1.



3. Assioma della probabilità 3 : La probabilità di un insieme di eventi incompatibili è uguale alla somma di tutte le probabilità.

Proprietà di probabilità

Le proprietà della probabilità sono:

1. La probabilità di un evento è equivalente a uno meno la probabilità del suo evento opposto.



2. La probabilità di un evento impossibile è sempre zero.



3. Se un evento è incluso in un altro evento, la probabilità del primo evento deve essere inferiore o uguale alla probabilità del secondo evento.



4. La probabilità di unione di due eventi è uguale alla somma della probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente meno la probabilità della loro intersezione.



5. Dato un insieme di eventi due per due incompatibili, la loro probabilità congiunta viene calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.



6. La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari in uno spazio campionario è uguale a 1.

Regole di probabilità

La regola di Laplace

La regola di Laplace è una regola probabilistica utilizzata per calcolare la probabilità che un evento si verifichi in uno spazio campione.

Più specificatamente, la regola di Laplace afferma che la probabilità che un evento si verifichi è pari al numero di casi favorevoli diviso per il numero totale di casi possibili. La formula della regola di Laplace è quindi la seguente:

Ad esempio, se mettiamo 5 palline verdi, 4 palline blu e 2 palline gialle in un sacchetto, possiamo trovare la probabilità di estrarre casualmente una pallina verde utilizzando la regola di Laplace:

regola della somma

Nella teoria della probabilità, la regola della somma (o regola dell’addizione) afferma che la somma delle probabilità di due eventi è uguale alla somma della probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente meno la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino contemporaneamente. tempo. .

Quindi, la formula per la regola dell’addizione è la seguente:

Puoi vedere gli esercizi passo passo risolti dell’applicazione della regola dell’addizione nel seguente link:

regola della moltiplicazione

La regola della moltiplicazione (o regola del prodotto) dice che la probabilità congiunta che si verifichino due eventi indipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi ciascun evento.

La formula per la regola della moltiplicazione è quindi la seguente:

Tuttavia, la formula per la regola della moltiplicazione varia a seconda che gli eventi siano indipendenti o dipendenti. Puoi vedere qual è la formula per la regola di moltiplicazione per gli eventi dipendenti ed esempi di applicazione di questa regola facendo clic qui: