Il test di breusch-pagan: definizione ed esempio

Uno dei presupposti chiave della regressione lineare è che i residui siano distribuiti con uguale varianza a ciascun livello della variabile predittrice. Questa ipotesi è nota come omoschedasticità .

Quando questa assunzione non è rispettata si dice che nei residui è presente eteroschedasticità . Quando ciò accade, i risultati della regressione diventano inaffidabili.

Un modo per rilevare visivamente se è presente eteroschedasticità è creare un grafico dei residui rispetto ai valori adattati dal modello di regressione.

Se i residui si diffondono maggiormente a valori più alti nel grafico, questo è un segno rivelatore della presenza di eteroschedasticità.

Un test statistico formale che possiamo utilizzare per determinare se è presente l’eteroschedasticità è il test di Breusch-Pagan .

Questo tutorial fornisce una breve spiegazione del test di Breusch-Pagan insieme a un esempio.

Cos’è il test di Breusch-Pagan?

Il test di Breusch-Pagan viene utilizzato per determinare se l’eteroschedasticità è presente o meno in un modello di regressione.

Il test utilizza le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• Ipotesi nulla (H ₀ ): è presente omoschedasticità (i residui sono distribuiti con uguale varianza)
• Ipotesi alternativa ( _HA ): è presente eteroschedasticità (i residui non sono distribuiti con uguale varianza)

Se il valore p del test è inferiore a un certo livello di significatività (cioè α = 0,05), allora rifiutiamo l’ipotesi nulla e concludiamo che l’eteroschedasticità è presente nel modello di regressione.

Utilizziamo i seguenti passaggi per eseguire un test di Breusch-Pagan:

1. Adattare il modello di regressione.

2. Calcolare i quadrati dei residui del modello.

3. Adattare un nuovo modello di regressione, utilizzando i quadrati dei residui come valori di risposta.

4. Calcolare la statistica del test Chi-quadrato X ² nella forma n*R ² _new dove:

• n: il numero totale di osservazioni
• R ² _nuovo : L’R quadrato del nuovo modello di regressione che utilizzava i quadrati dei residui come valori di risposta

Se il valore p che corrisponde a questa statistica del test chi quadrato con p (il numero di predittori) gradi di libertà è inferiore a un certo livello di significatività (ovvero α = 0,05), rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che è presente eteroschedasticità .

Altrimenti non rifiutare l’ipotesi nulla. In questo caso si presume che sia presente l’omoschedasticità.

Tieni presente che la maggior parte dei software statistici può eseguire facilmente il test di Breusch-Pagan, quindi probabilmente non dovrai mai eseguire questi passaggi manualmente, ma è utile sapere cosa succede dietro le quinte.

Un esempio del test di Breusch-Pagan

Supponiamo di avere il seguente set di dati contenente informazioni su 10 diversi giocatori di basket:

Utilizzando un software statistico, adattiamo il seguente modello di regressione lineare multipla :

punteggio = 62,47 + 1,12*(punti) + 0,88*(assist) – 0,43*(rimbalzi)

Utilizziamo quindi questo modello per fare previsioni sulla valutazione di ciascun giocatore e calcolare i residui quadrati (ovvero la differenza al quadrato tra la valutazione prevista e la valutazione effettiva):

Successivamente, adattiamo un nuovo modello di regressione utilizzando i quadrati dei residui come valori di risposta e le variabili predittive originali ancora una volta come variabili predittive. Abbiamo trovato quanto segue:

• N: 10
• ^R2 _nuovo : 0.600395

Quindi, la nostra statistica del test Chi-quadrato per il test di Breusch-Pagan è n*R ² _new = 10*.600395 = 6.00395 . I gradi di libertà sono p = 3 variabili predittive.

Secondo il calcolatore del valore chi quadrato/P , il valore p che corrisponde a X ² = 6,00395 con 3 gradi di libertà è 0,111418 .

Poiché questo valore p non è inferiore a 0,05, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla. Assumiamo quindi che sia presente l’omoschedasticità.

Il test di Breusch-Pagan in pratica

I seguenti tutorial forniscono esempi passo passo su come eseguire il test di Breusch-Pagan in diversi programmi statistici:

Come eseguire un test di Breusch-Pagan in Excel
Come eseguire un test di Breusch-Pagan in R
Come eseguire un test di Breusch-Pagan in Python
Come eseguire il test Breusch-Pagan in Stata