Test del chi quadrato

Di Benjamin anderson Agosto 2, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è il test chi quadrato in statistica e a cosa serve. Scoprirai anche come eseguire un test chi quadrato e, inoltre, un esercizio risolto passo dopo passo.

Cos’è il test del chi quadrato?

Il test Chi-quadrato è un test statistico utilizzato per determinare se esiste una differenza statisticamente significativa tra la frequenza prevista e la frequenza osservata.

Logicamente, la statistica del test chi-quadrato segue una distribuzione chi-quadrato . Il valore della statistica test deve quindi essere confrontato con un particolare valore della distribuzione chi-quadrato. Di seguito vedremo come si esegue il test del chi quadrato.

Questo tipo di test statistico è noto anche come test chi quadrato di Pearson ed è talvolta rappresentato dal simbolo della distribuzione chi quadrato: test χ² .

Formula del test chi quadrato

La statistica del test chi quadrato è pari alla somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati e i valori attesi divisa per i valori attesi.

Quindi, la formula per il test del chi quadrato è:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Oro:

$\chi^2$

è la statistica del test chi-quadrato, che segue una distribuzione chi-quadrato con

$k-1$

gradi di libertà.
$k$

è la dimensione del campione di dati.
$O_i$

è il valore osservato per i dati i.
$E_i$

è il valore atteso per i dati i.

L’ipotesi nulla del test di ipotesi di un test chi-quadrato è che i valori osservati siano equivalenti ai valori attesi. L’ipotesi alternativa del test, invece, è che uno dei valori osservati sia diverso dal suo valore atteso.

$\begin{cases}H_0:O_i=E_i \quad \forall i\\[2ex]H_1:\exists \ O_i\neq E_i \end{cases}$

Quindi, dato un livello di significatività

$\alpha$

, la statistica del test calcolata dovrebbe essere confrontata con il valore critico del test per determinare se rifiutare l’ipotesi nulla o l’ipotesi alternativa:

Se la statistica del test è inferiore al valore critico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, si rifiuta l’ipotesi alternativa (e si accetta l’ipotesi nulla).
Se la statistica del test è maggiore del valore critico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, si rifiuta l’ipotesi nulla (e si accetta l’ipotesi alternativa).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ Esempio del test del chi quadrato

Dopo aver visto la definizione di test chi quadrato e qual è la sua formula, di seguito viene presentato un esempio risolto passo dopo passo in modo che tu possa vedere come viene eseguito questo tipo di test statistico.

Il proprietario di un negozio afferma che il 50% delle sue vendite riguarda il prodotto A, il 35% delle sue vendite riguarda il prodotto B e il 15% delle sue vendite riguarda il prodotto C. Tuttavia, le unità vendute di ciascun prodotto sono quelle presentate nella seguente tabella di contingenza . Analizzare se i dati teorici del Titolare sono statisticamente differenti dai dati effettivi raccolti.

Prodotto	Vendite osservate (O _i )
Prodotto A	453
Prodotto B	268
Prodotto C	79
Totale	800

Per prima cosa dobbiamo calcolare i valori attesi dal proprietario del negozio. Per fare ciò, moltiplichiamo la percentuale di vendite previste di ciascun prodotto per il numero di vendite totali ottenute:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,5=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Pertanto, la tabella di distribuzione della frequenza del problema è la seguente:

Prodotto	Vendite osservate (O _i )	Vendite previste (E _i )
Prodotto A	453	400
Prodotto B	268	280
Prodotto C	79	120
Totale	800	800

Ora che abbiamo calcolato tutti i valori, applichiamo la formula del test chi quadrato per calcolare la statistica del test:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

Una volta calcolato il valore della statistica del test, utilizziamo la tabella di distribuzione chi-quadrato per trovare il valore critico del test. La distribuzione chi-quadrato ha

$k-1=3-1=2$

gradi di libertà, quindi se scegliamo un livello di significatività

$\alpha=0,05$

il valore critico del test è il seguente:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Pertanto, la statistica del test (21,53) è maggiore del valore del test critico (5,991), pertanto l’ipotesi nulla viene rifiutata e l’ipotesi alternativa viene accettata. Ciò significa che i dati sono molto diversi e quindi il titolare del negozio si aspettava vendite diverse da quelle effettivamente realizzate.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <h2 class=$ Interpretazione del test del chi quadrato

L’ interpretazione del test Chi quadrato non può essere fatta esclusivamente con il risultato del test ottenuto, ma deve essere confrontato con il valore critico del test.

Logicamente, minore è il valore della statistica test calcolata, più i dati osservati sono simili a quelli attesi. Quindi, se il risultato del test chi quadrato è 0, ciò implica che i valori osservati e quelli attesi sono esattamente gli stessi. D’altra parte, maggiore è il risultato del test, ciò significa che più i valori osservati si discostano da quelli attesi.

Tuttavia, per decidere se i due set di dati sono statisticamente diversi o uguali, è necessario confrontare il valore del test calcolato con il valore del test critico, in modo da rifiutare l’ipotesi nulla o l’ipotesi alternativa del contrasto. Se la statistica del test è inferiore al valore critico della distribuzione, l’ipotesi alternativa viene rifiutata. Se invece la statistica test è maggiore del valore critico della distribuzione, l’ipotesi nulla viene rifiutata.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Cos’è il test del chi quadrato?

Formula del test chi quadrato

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Aggiungi un commento