Test t di student

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è il test t di Student e a cosa serve in statistica. Scoprirai così come viene eseguito il test t di Student, quali sono i diversi tipi di test t di Student e la formula per ciascuno.

Qual è il test t di Student?

Il test t di Student , chiamato anche test T o semplicemente test t , è un test statistico in cui la statistica del test segue la distribuzione t di Student . Pertanto, in statistica, il test t di Student viene utilizzato per rifiutare o accettare l’ipotesi nulla di un test di ipotesi.

Nello specifico, il test t di Student viene utilizzato nei test di ipotesi in cui la popolazione studiata segue una distribuzione normale, ma la dimensione del campione è troppo piccola per conoscere la varianza della popolazione.

In breve, il test t di Student viene utilizzato per rifiutare o accettare l’ipotesi di studio di determinati test di ipotesi. Ad esempio, il test t di Student viene utilizzato per verificare le ipotesi per un campione, per campioni indipendenti o per campioni correlati. Vedremo poi come viene calcolato il test t di Student caso per caso.

Tipi di test t di Student

Esistono tre tipi di test t di Student :

Test t di Student per un campione : viene utilizzato per verificare l’ipotesi sul valore della media campionaria.
Test t di Student per due campioni indipendenti : permette di verificare l’ipotesi sulla differenza tra le medie di due campioni indipendenti.
Il test t di Student per due campioni accoppiati (o campioni correlati) viene utilizzato per indagare l’ipotesi sulla media di un campione testato due volte.

Un esempio del test t di Student

I test di ipotesi per la media campionaria sono quelli in cui l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa del test dicono qualcosa sul valore della media della popolazione.

La formula per il test t di Student per un campione è la seguente:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$t$

è la statistica del test di ipotesi per la media, che è definita dalla distribuzione t di Student.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore della media proposta nel test di ipotesi.
$s$

è la deviazione standard del campione.
$n$

è la dimensione del campione.

Una volta calcolato il valore del test t di Student, il risultato del test statistico con il valore critico deve essere interpretato per rifiutare o meno l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto del test t di Student è maggiore del valore critico t _α/2|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore del test t di Student è maggiore del valore critico t _α|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore del test t di Student è inferiore al valore critico -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Si noti che i valori critici del test sono ottenuti dalla tabella di distribuzione di Student.

➤ Vedi: Esempio concreto di verifica di ipotesi per la media

Test t di Student per campioni indipendenti

Il test t di Student per campioni indipendenti viene utilizzato per rifiutare o accettare l’ipotesi di una relazione tra le medie di due popolazioni, ad esempio che le medie di due popolazioni siano diverse o che la media della popolazione A sia maggiore della media di . popolazione B.

Tuttavia, in questo caso, la formula del test t di Student varia a seconda che si possa presumere che le varianze della popolazione siano uguali o meno. Vedremo poi i due casi possibili.

Deviazioni sconosciute e uguali

La formula per calcolare il test t di Student per campioni indipendenti quando le varianze della popolazione sono sconosciute ma presunte uguali è la seguente:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

Oro:

$t$

è la statistica di verifica delle ipotesi per la differenza delle medie con varianze sconosciute, che segue una distribuzione t di Student con n ₁ + n ₂ -2 gradi di libertà.
$\mu_1$

è la media della popolazione 1.
$\mu_2$

è la media della popolazione 2.
$\overline{x_1}$

è la media del campione 1.
$\overline{x_2}$

è la media del campione 2.
$s_p$

è la deviazione standard aggregata.
$n_1$

è la dimensione del campione 1.
$n_2$

è la dimensione del campione 2.

La deviazione standard combinata dei due campioni viene calcolata utilizzando la seguente formula:

$\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

Varianti sconosciute e diverse

Quando le varianze della popolazione sono sconosciute e, inoltre, si presume siano diverse, la formula per calcolare il test t di Student per campioni indipendenti è la seguente:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

Oro:

$t$

è la statistica di verifica dell’ipotesi per la differenza delle medie con varianze sconosciute, che segue una distribuzione t di Student.
$\mu_1$

è la media della popolazione 1.
$\mu_2$

è la media della popolazione 2.
$\overline{x_1}$

è la media del campione 1.
$\overline{x_2}$

è la media del campione 2.
$\sigma_1$

è la deviazione standard della popolazione 1.
$\sigma_2$

è la deviazione standard della popolazione 2.
$n_1$

è la dimensione del campione 1.
$n_2$

è la dimensione del campione 2.

Tuttavia, in questo caso, i gradi di libertà della distribuzione t di Student vengono calcolati utilizzando la seguente formula:

$\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}$

➤ Vedi: Esempio concreto di verifica di ipotesi per la differenza nelle medie

Test t di Student per campioni appaiati o correlati

Questo test viene utilizzato quando due campioni studiati sono correlati tra loro, in modo che si tratti in realtà di un unico campione di individui che è stato analizzato due volte (ogni volta in condizioni diverse).

Ad esempio, puoi analizzare i voti degli studenti in un corso di matematica e statistica per vedere se c’è una differenza significativa tra le medie delle due materie. In questo caso, il voto di matematica di ciascuno studente è collegato al voto di statistica dello stesso studente.

La formula del test t di Student per campioni accoppiati o correlati è:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x_D}-\mu_D}{\displaystyle \frac{s_D}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$t$

è la statistica del test di ipotesi per medie appaiate, definita dalla distribuzione t di Student.
$\overline{x_D}$

è la media del campione formata dalla differenza dei dati.
$\mu_D$

è il valore della media proposta nel test di ipotesi.
$s_D$

è la deviazione standard del campione formata dalla differenza nei dati.
$n$

è la dimensione del campione.

Ipotesi del test t di Student

Per poter eseguire il test t di Student è necessario che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

Continuità : i dati campione sono continui.
Casualità : i campioni di dati sono stati selezionati in modo casuale.
Omogeneità : la varianza del campione di dati è omogenea.
Normalità : la distribuzione che definisce il campione di dati è approssimativamente normale.

Come fare il test t di Student

Infine, in sintesi, vengono dettagliati i passaggi da seguire per eseguire un test t di Student.

Definire le ipotesi nulle e alternative del test di ipotesi.
Stabilire il livello di significatività (α) del test di ipotesi.
Verificare che le ipotesi del test t di Student siano soddisfatte.
Applicare la formula del test t di Student corrispondente e calcolare la statistica del test.
Interpretare il risultato del test t di Student confrontandolo con il valore critico del test.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Qual è il test t di Student?

Tipi di test t di Student

Un esempio del test t di Student

Test t di Student per campioni indipendenti

Deviazioni sconosciute e uguali

Varianti sconosciute e diverse

Test t di Student per campioni appaiati o correlati

Ipotesi del test t di Student

Come fare il test t di Student

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Aggiungi un commento