Trasformazione z di fisher: definizione ed esempio

La trasformazione Z di Fisher è una formula che possiamo utilizzare per trasformare il coefficiente di correlazione di Pearson (r) in un valore (z _r ) che può essere utilizzato per calcolare un intervallo di confidenza per il coefficiente di correlazione di Pearson.

La formula è la seguente:

_zr = ln((1+r) / (1-r)) / 2

Ad esempio, se il coefficiente di correlazione di Pearson tra due variabili risulta essere r = 0,55, allora calcoleremo _zr come:

• _zr = ln((1+r) / (1-r)) / 2
• _zr = ln((1+.55) / (1-.55)) / 2
• _zr = 0,618

Risulta che la distribuzione campionaria di questa variabile trasformata segue una distribuzione normale .

Questo è importante perché ci consente di calcolare un intervallo di confidenza per un coefficiente di correlazione di Pearson.

Senza eseguire questa trasformazione Z di Fisher, non saremmo in grado di calcolare un intervallo di confidenza affidabile per il coefficiente di correlazione di Pearson.

L’esempio seguente mostra come calcolare nella pratica un intervallo di confidenza per un coefficiente di correlazione di Pearson.

Esempio: calcolo di un intervallo di confidenza per il coefficiente di correlazione

Supponiamo di voler stimare il coefficiente di correlazione tra altezza e peso dei residenti di una determinata contea. Selezioniamo un campione casuale di 60 residenti e troviamo le seguenti informazioni:

• Dimensione del campione n = 60
• Coefficiente di correlazione tra altezza e peso r = 0,56

Ecco come trovare un intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente di correlazione della popolazione:

Passaggio 1: eseguire la trasformazione di Fisher.

Sia z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0.6328

Passaggio 2: trova i limiti superiore e inferiore del registro.

Sia L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 60-3 ) = 0,373

Sia U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 60-3 ) = 0,892

Passaggio 3: trovare l’intervallo di confidenza.

Intervallo di confidenza = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Intervallo di confidenza = [(e ^2(.373) -1)/(e ^2(.373) +1), (e ^2(.892) -1)/(e ^2(.892) +1)] = [ .3568, .7126]

Nota: è possibile trovare questo intervallo di confidenza anche utilizzando il calcolatore dell’intervallo di confidenza per un coefficiente di correlazione .

Questo intervallo ci fornisce un intervallo di valori che probabilmente contiene il vero coefficiente di correlazione di Pearson tra peso e dimensione della popolazione con un alto livello di confidenza.

Si noti l’importanza della trasformazione Z di Fisher: questo era il primo passo che dovevamo eseguire prima di poter effettivamente calcolare l’intervallo di confidenza.

Risorse addizionali

Introduzione al coefficiente di correlazione di Pearson
Le cinque ipotesi della correlazione di Pearson
Come calcolare manualmente un coefficiente di correlazione di Pearson