Test di una proporzione z: definizione, formula ed esempio

Un test z su una proporzione viene utilizzato per confrontare una proporzione osservata con una proporzione teorica.

Questo tutorial spiega quanto segue:

• La motivazione per eseguire un test z in proporzione.
• La formula per eseguire un test z con una proporzione.
• Un esempio di come eseguire uno z-test con una proporzione.

Test Z ad una proporzione: motivazione

Supponiamo di voler sapere se la percentuale di persone in un determinato paese che sono favorevoli ad una determinata legge è pari al 60%. Dato che ci sono migliaia di residenti nella contea, sarebbe troppo costoso e dispendioso in termini di tempo andare in giro e chiedere a ciascun residente la sua posizione sulla legge.

Invece, potremmo selezionare un semplice campione casuale di residenti e chiedere a ciascuno se sostiene o meno la legge:

Tuttavia, è virtualmente garantito che la percentuale di residenti nel campione che sostengono la legge sarà almeno leggermente diversa dalla percentuale di residenti nella popolazione generale che sostengono la legge. La questione è se questa differenza sia statisticamente significativa . Fortunatamente, uno z-test con una proporzione ci consente di rispondere a questa domanda.

Test Z ad una proporzione: formula

Un test z ad una proporzione utilizza sempre la seguente ipotesi nulla:

• H ₀ : p = p ₀ (la proporzione della popolazione è uguale a un’ipotetica proporzione della popolazione p ₀ )

L’ipotesi alternativa può essere bilaterale, sinistra o destra:

• H ₁ (a due code): p ≠ p ₀ (la proporzione della popolazione non è uguale a un valore ipotetico p ₀ )
• H ₁ (a sinistra): p < p ₀ (la proporzione della popolazione è inferiore a un valore ipotetico p ₀ )
• H ₁ (a destra): p > p ₀ (la proporzione della popolazione è maggiore di un ipotetico valore p ₀ )

Usiamo la seguente formula per calcolare la statistica del test z:

z = (pp ₀ ) / √ p ₀ (1-p ₀ )/n

Oro:

• p: proporzione campionaria osservata
• p ₀ : proporzione ipotetica della popolazione
• n: dimensione del campione

Se il valore p che corrisponde alla statistica del test z è inferiore al livello di significatività scelto (le scelte comuni sono 0,10, 0,05 e 0,01), è possibile rifiutare l’ipotesi nulla.

Test Z ad una proporzione : esempio

Supponiamo di voler sapere se la percentuale di residenti in una determinata contea che sostengono una determinata legge è pari o meno al 60%. Per verificarlo, eseguiremo un test z su una proporzione al livello di significatività α = 0,05 utilizzando i seguenti passaggi:

Passaggio 1: raccogliere dati di esempio.

Supponiamo di analizzare un campione casuale di residenti e di ottenere le seguenti informazioni:

• p: proporzione del campione osservato = 0,64
• p ₀ : proporzione ipotetica della popolazione = 0,60
• n: dimensione del campione = 100

Passaggio 2: definire le ipotesi.

Effettueremo il t-test per un campione con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : p = 0,60 (la proporzione della popolazione è pari a 0,60)
• H ₁ : p ≠ 0,60 (la proporzione della popolazione non è uguale a 0,60)

Passaggio 3: calcolare la statistica del test z .

z = (pp ₀ ) / √ p ₀ (1-p ₀ )/n = (.64-.6) / √ .6(1-.6)/100 = 0,816

Passaggio 4: calcolare il valore p della statistica del test z .

Secondo il calcolatore del punteggio Z al valore P, il valore p a due code associato a z = 0,816 è 0,4145 .

Passaggio 5: trarre una conclusione.

Poiché questo valore p non è inferiore al nostro livello di significatività α = 0,05, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla. Non abbiamo prove sufficienti per affermare che la percentuale di residenti favorevoli alla legge sia diversa da 0,60.

Nota: è anche possibile eseguire l’intero z-test a una proporzione semplicemente utilizzando il calcolatore Z-test a una proporzione .

Risorse addizionali

Come eseguire un test Z di una proporzione in Excel
Una calcolatrice per il test della proporzione Z