{"id":1231,"date":"2023-07-27T05:09:32","date_gmt":"2023-07-27T05:09:32","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-normale-vs-distribuzione-t\/"},"modified":"2023-07-27T05:09:32","modified_gmt":"2023-07-27T05:09:32","slug":"distribuzione-normale-vs-distribuzione-t","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-normale-vs-distribuzione-t\/","title":{"rendered":"Distribuzione normale e distribuzione t: qual \u00e8 la differenza?"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">La <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/la-distribuzione-normale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">distribuzione normale<\/a> \u00e8 la distribuzione pi\u00f9 comunemente utilizzata in tutte le statistiche ed \u00e8 nota per essere simmetrica e a forma di campana.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12187 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t1.png\" alt=\"\" width=\"431\" height=\"394\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una distribuzione strettamente correlata \u00e8 la <strong>distribuzione t<\/strong> , anch&#8217;essa simmetrica e a forma di campana ma con &#8220;code&#8221; pi\u00f9 pesanti della distribuzione normale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In altre parole, nella distribuzione si trovano pi\u00f9 valori alle estremit\u00e0 che al centro rispetto alla distribuzione normale:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12188 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t2.png\" alt=\"Distribuzione normale vs distribuzione t\" width=\"444\" height=\"408\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nel gergo statistico, utilizziamo una metrica chiamata <strong>curtosi<\/strong> per misurare quanto sia &#8220;pesante&#8221; una distribuzione. Quindi, diremmo che la curtosi di una distribuzione t \u00e8 maggiore di quella di una distribuzione normale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In pratica, utilizziamo molto spesso la distribuzione t quando eseguiamo <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/verifica-delle-ipotesi-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">test di ipotesi<\/a> o <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/intervalli-di-confidenza\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">costruiamo intervalli di confidenza<\/a> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, la formula per calcolare un intervallo di confidenza per la media della popolazione \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Intervallo di confidenza =<\/strong> <strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> +\/- t <sub>1-\u03b1\/2, n-1<\/sub> *(s\/\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n<\/span> )<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> :<\/strong> mezzi campione<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t:<\/strong> il valore t critico, basato sul livello di significativit\u00e0 <em>\u03b1<\/em> e sulla dimensione del campione <em>n<\/em><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>s:<\/strong> deviazione standard campionaria<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> dimensione del campione<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In questa formula utilizziamo il valore critico della tabella t invece del valore critico della tabella z quando \u00e8 vera una delle seguenti condizioni:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Non conosciamo la deviazione standard della popolazione.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La dimensione del campione \u00e8 inferiore o uguale a 30.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il seguente diagramma di flusso fornisce un modo utile per sapere se \u00e8 necessario utilizzare il valore critico della tabella t o della tabella z:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4849 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/z_table_vs_t_table.jpg\" alt=\"Tabella Z contro tabella t\" width=\"432\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La differenza principale tra l&#8217;utilizzo della distribuzione t e l&#8217;utilizzo della distribuzione normale quando si costruiscono intervalli di confidenza \u00e8 che i valori critici della distribuzione t saranno maggiori, portando a intervalli di confidenza <em>pi\u00f9 ampi<\/em> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di voler costruire un intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di una popolazione di tartarughe, al fine di raccogliere un campione casuale di tartarughe con le seguenti informazioni:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Dimensione del campione <strong>n = 25<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Peso medio del campione <strong>x = 300<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Deviazione standard del campione <strong>s = 18,5<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il valore z critico per un livello di confidenza del 95% \u00e8 <strong>1,96<\/strong> mentre un valore t critico per un intervallo di confidenza del 95% con df = 25-1 = 24 gradi di libert\u00e0 \u00e8 <strong>2,0639<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Pertanto, un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione utilizzando un valore z-critico \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">IC al 95% = 300 +\/- 1,96*(18,5\/\u221a <span>25<\/span> ) = <strong>[292,75, 307,25]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mentre un intervallo di confidenza del 95% per la media della popolazione utilizzando un valore t-critico \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">IC al 95% = 300 +\/- 2,0639*(18,5\/\u221a25) = <strong>[292,36, 307,64]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Si noti che l&#8217;intervallo di confidenza con il valore t-critico \u00e8 pi\u00f9 ampio.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">L\u2019idea qui \u00e8 che quando abbiamo campioni di piccole dimensioni siamo meno sicuri della media reale della popolazione, quindi \u00e8 utile utilizzare la distribuzione t per produrre intervalli di confidenza pi\u00f9 ampi che abbiano maggiori possibilit\u00e0 di contenere la media reale della popolazione.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Visualizzazione dei gradi di libert\u00e0 della distribuzione t<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 opportuno notare che all\u2019aumentare dei gradi di libert\u00e0 la distribuzione t si avvicina alla distribuzione normale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per illustrare ci\u00f2, si consideri il grafico seguente che mostra la forma della distribuzione t con i seguenti gradi di libert\u00e0:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 3<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 10<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 30<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12193 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t3.png\" alt=\"Grafici di distribuzione normale o t\" width=\"470\" height=\"427\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oltre i 30 gradi di libert\u00e0, la distribuzione t e la distribuzione normale diventano cos\u00ec simili che le differenze tra l&#8217;utilizzo di un valore critico t e un valore critico z nelle formule diventano trascurabili.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La distribuzione normale \u00e8 la distribuzione pi\u00f9 comunemente utilizzata in tutte le statistiche ed \u00e8 nota per essere simmetrica e a forma di campana. 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