{"id":1397,"date":"2023-07-26T13:29:57","date_gmt":"2023-07-26T13:29:57","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/approssimazione-normale\/"},"modified":"2023-07-26T13:29:57","modified_gmt":"2023-07-26T13:29:57","slug":"approssimazione-normale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/approssimazione-normale\/","title":{"rendered":"Approssimazione binomiale normale: definizione ed esempio"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><em>Se<\/em> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/variabili-casuali\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">_<\/a> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">_<\/a> <em>_<\/em> <em>_<\/em> <em>_<\/em><\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bc = np<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03c3 = <span style=\"border-top: 1px solid black;\">\u221anp(1-p)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Risulta che se <em>n<\/em> \u00e8 abbastanza grande, allora possiamo usare la <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/la-distribuzione-normale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">distribuzione normale<\/a> per approssimare le probabilit\u00e0 legate alla distribuzione binomiale. Questa \u00e8 chiamata <strong>approssimazione binomiale normale<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Affinch\u00e9 <em>n<\/em> sia \u201cabbastanza grande\u201d, deve soddisfare i seguenti criteri:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quando entrambi i criteri sono soddisfatti, possiamo utilizzare la distribuzione normale per rispondere a domande di probabilit\u00e0 relative alla distribuzione binomiale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tuttavia, la distribuzione normale \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 continua mentre la distribuzione binomiale \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 discreta, quindi dobbiamo applicare la correzione di continuit\u00e0 quando calcoliamo le probabilit\u00e0.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In poche parole, una <strong>correzione di continuit\u00e0<\/strong> \u00e8 il nome dato all&#8217;aggiunta o alla sottrazione di 0,5 da un valore x discreto.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di voler trovare la probabilit\u00e0 che una moneta esca testa inferiore o uguale a 45 volte nel corso di 100 lanci. Vogliamo cio\u00e8 trovare P(X \u2264 45). Per utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale, troveremmo invece P(X \u2264 45,5).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La tabella seguente mostra quando dovresti aggiungere o sottrarre 0,5, a seconda del tipo di probabilit\u00e0 che stai cercando di trovare:<\/span><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Utilizza la distribuzione binomiale<\/strong><\/span><\/th>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Utilizzando la distribuzione normale con correzione di continuit\u00e0<\/strong><\/span><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X = 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">44,5 &lt; X &lt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X \u2264 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X&lt;45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X&lt;45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X&lt;44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X\u2265 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il seguente esempio passo passo mostra come utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Esempio: approssimazione normale del binomio<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo di voler conoscere la probabilit\u00e0 che una moneta esca testa minore o uguale a 43 volte in 100 lanci.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In questa situazione abbiamo i seguenti valori:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n<\/strong> (numero di prove) = 100<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>X<\/strong> (numero di successi) = 43<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p<\/strong> (probabilit\u00e0 di successo in una determinata prova) = 0,50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per calcolare la probabilit\u00e0 che la moneta esca testa inferiore o uguale a 43 volte, possiamo utilizzare i seguenti passaggi:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 1: verificare che la dimensione del campione sia sufficientemente grande da utilizzare l&#8217;approssimazione normale.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Innanzitutto dobbiamo verificare che siano soddisfatti i seguenti criteri:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In questo caso abbiamo:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) = 100*(1 \u2013 0,5) = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Entrambi i numeri sono maggiori di 5, quindi possiamo tranquillamente usare l&#8217;approssimazione normale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 2: determinare la correzione di continuit\u00e0 da applicare.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Facendo riferimento alla tabella sopra, vediamo che dovremmo aggiungere 0,5 quando lavoriamo con la probabilit\u00e0 nella forma di X \u2264 43. Quindi, troveremo P(X&lt; 43,5).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 3: Trova la media (\u03bc) e la deviazione standard (\u03c3) della distribuzione binomiale.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u00b5<\/strong> = n*p = 100*0,5 = 50<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03c3<\/strong> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n*p*(1-p)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">100*,5*(1-,5)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">25<\/span> = 5<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 4: Trova il punteggio z utilizzando la media e la deviazione standard trovate nel passaggio precedente.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>z<\/strong> = (x \u2013 \u03bc) \/ \u03c3 = (43,5 \u2013 50) \/ 5 = -6,5 \/ 5 = -1,3.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 5: Trova la probabilit\u00e0 associata al punteggio z.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo usare il <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatore-cdf-normale-veloce\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">normale calcolatore CDF<\/a> per scoprire che l&#8217;area sotto la curva normale standard a sinistra di -1,3 \u00e8 <strong>0,0968<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi la probabilit\u00e0 che una moneta esca testa inferiore o uguale a 43 volte in 100 lanci \u00e8 <strong>0,0968<\/strong> .<\/span><\/p>\n<hr>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo esempio illustra quanto segue:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Avevamo una situazione in cui una variabile casuale seguiva una distribuzione binomiale.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Volevamo trovare la probabilit\u00e0 di ottenere un certo valore per questa variabile casuale.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Poich\u00e9 la dimensione del campione (n = 100 prove) era sufficientemente ampia, siamo stati in grado di utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo \u00e8 un esempio completo di come utilizzare l&#8217;approssimazione normale per trovare le probabilit\u00e0 relative alla distribuzione binomiale.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Se _ _ _ _ _ \u03bc = np \u03c3 = \u221anp(1-p) Risulta che se n \u00e8 abbastanza grande, allora possiamo usare la distribuzione normale per approssimare le probabilit\u00e0 legate alla distribuzione binomiale. 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