{"id":1469,"date":"2023-07-26T06:37:52","date_gmt":"2023-07-26T06:37:52","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/sst-ssr-sse\/"},"modified":"2023-07-26T06:37:52","modified_gmt":"2023-07-26T06:37:52","slug":"sst-ssr-sse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/sst-ssr-sse\/","title":{"rendered":"Una guida delicata alla somma dei quadrati: sst, ssr, sse"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">La regressione lineare<\/a> viene utilizzata per trovare la linea che meglio si \u201cadatta\u201d a un insieme di dati.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Usiamo spesso tre diversi valori <strong>di somma dei quadrati<\/strong> per misurare quanto bene la linea di regressione si adatta effettivamente ai dati:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Somma dei quadrati totali (SST) \u2013<\/strong> La somma dei quadrati delle differenze tra i singoli punti dati (y <sub>i<\/sub> ) e la media della variabile di risposta ( <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ).<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">SST = \u03a3(y <sub>i<\/sub> \u2013 <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ) <sup>2<\/sup><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Regressione della somma dei quadrati (SSR)<\/strong> \u2013 La somma dei quadrati delle differenze tra i punti dati previsti (\u0177 <sub>i<\/sub> ) e la media della variabile di risposta ( <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ).<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">SSR = \u03a3(\u0177 <sub>i<\/sub> \u2013 <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ) <sup>2<\/sup><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Errore della somma dei quadrati (SSE)<\/strong> \u2013 La somma dei quadrati delle differenze tra i punti dati previsti (\u0177 <sub>i<\/sub> ) e i punti dati osservati (y <sub>i<\/sub> ).<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">SSE = \u03a3(\u0177 <sub>i<\/sub> \u2013 y <sub>i<\/sub> ) <sup>2<\/sup><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tra queste tre misure esiste la seguente relazione:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>SST = SSR + SSE<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi, se conosciamo due di queste misurazioni, possiamo usare la semplice algebra per calcolare la terza.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>SSR, SST e R-Square<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/buon-valore-di-r-quadrato\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">R-quadrato<\/a> , a volte chiamato coefficiente di determinazione, \u00e8 una misura di quanto bene un modello di regressione lineare si adatta a un set di dati. Rappresenta la proporzione della varianza nella <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/variabili-risposte-esplicative\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">variabile di risposta<\/a> che pu\u00f2 essere spiegata dalla variabile predittrice.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il valore R quadrato pu\u00f2 variare da 0 a 1. Un valore pari a 0 indica che la variabile di risposta non pu\u00f2 essere spiegata affatto dalla variabile predittore. Un valore pari a 1 indica che la variabile di risposta pu\u00f2 essere spiegata perfettamente senza errori dalla variabile predittore.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Utilizzando SSR e SST, possiamo calcolare R al quadrato come segue:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>R al quadrato = SSR\/SST<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, se l&#8217;SSR per un dato modello di regressione \u00e8 137,5 e l&#8217;SST \u00e8 156, calcoleremo R al quadrato come segue:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">R al quadrato = 137,5\/156 = 0,8814<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo ci dice che l\u201988,14% della variazione nella variabile di risposta pu\u00f2 essere spiegata dalla variabile predittore.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Calcola SST, SSR, SSE:<\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\"><strong>esempio passo passo<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo di avere il seguente set di dati che mostra il numero di ore studiate da sei studenti diversi insieme ai punteggi degli esami finali:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14549 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre1.png\" alt=\"\" width=\"211\" height=\"186\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Utilizzando alcuni software statistici (come <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-semplice-in-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">R<\/a> , <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-semplice-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Excel<\/a> , <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-semplice-in-python\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Python<\/a> ) o anche manualmente, possiamo vedere che la linea pi\u00f9 adatta \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Punteggio = 66.615 + 5.0769*(Ore)<\/strong><\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14550 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre2.png\" alt=\"\" width=\"541\" height=\"405\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una volta che conosciamo la linea dell&#8217;equazione pi\u00f9 adatta, possiamo utilizzare i seguenti passaggi per calcolare SST, SSR e SSE:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 1: calcolare la media della variabile di risposta.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media della variabile di risposta ( <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ) risulta essere <strong>81<\/strong> .<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14551 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre3.png\" alt=\"\" width=\"284\" height=\"185\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 2: calcolare il valore previsto per ciascuna osservazione.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi possiamo utilizzare la linea dell&#8217;equazione pi\u00f9 adatta per calcolare il punteggio previsto dell&#8217;esame () per ciascuno studente.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, il voto previsto per l&#8217;esame per lo studente che ha studiato un&#8217;ora \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Punteggio = 66,615 + 5,0769*(1) = <strong>71,69<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo utilizzare lo stesso approccio per trovare il punteggio previsto per ogni studente:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14552 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre4.png\" alt=\"\" width=\"359\" height=\"185\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 3: calcolare la somma totale dei quadrati (SST).<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi possiamo calcolare la somma dei quadrati in totale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, la somma totale dei quadrati per il primo studente \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">(y <sub>i<\/sub> \u2013 <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ) <sup>2<\/sup> = (68 \u2013 81) <sup>2<\/sup> = <strong>169<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo utilizzare lo stesso approccio per trovare la somma totale dei quadrati per ogni studente:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14553 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre5.png\" alt=\"\" width=\"449\" height=\"243\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La somma totale dei quadrati risulta essere <strong>316<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 4: calcolare la regressione della somma dei quadrati (SSR).<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi possiamo calcolare la regressione della somma dei quadrati.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, la regressione della somma dei quadrati per il primo studente \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">( <sub>\u0177i<\/sub> \u2013 <span style=\"border-top: 1px solid black;\">y<\/span> ) <sup>2<\/sup> = (71,69 \u2013 81) <sup>2<\/sup> = <b>86,64<\/b> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo utilizzare lo stesso approccio per trovare la regressione della somma dei quadrati per ciascuno studente:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14554 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre6.png\" alt=\"\" width=\"518\" height=\"239\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La somma della regressione dei quadrati risulta essere <strong>279,23<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 5: calcolare l&#8217;errore della somma dei quadrati (SSE).<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi possiamo calcolare l&#8217;errore della somma dei quadrati.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, l&#8217;errore della somma dei quadrati per il primo studente \u00e8:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">(\u0177 <sub>i<\/sub> \u2013 y <sub>i<\/sub> ) <sup>2<\/sup> = (71,69 \u2013 68) <sup>2<\/sup> = <b>13,63<\/b> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo utilizzare lo stesso approccio per trovare l&#8217;errore della somma dei quadrati per ogni studente:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14555 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/sommecarre7.png\" alt=\"Esempio di calcolo di SST, SSR e SSE per la regressione lineare\" width=\"606\" height=\"235\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo verificare che SST = SSR + SSE<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">SST = SSR + SSE<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">316 = 279,23 + 36,77<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo anche calcolare l&#8217;R quadrato del modello di regressione utilizzando la seguente equazione:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">R al quadrato = SSR\/SST<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">R al quadrato = 279,23\/316<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">R al quadrato = 0,8836<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo ci dice che l&#8217; <strong>88,36%<\/strong> della variazione dei punteggi degli esami \u00e8 spiegabile con il numero di ore studiate.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Risorse addizionali<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 possibile utilizzare i seguenti calcolatori per calcolare automaticamente SST, SSR e SSE per qualsiasi linea di regressione lineare semplice:<\/span><\/p>\n<p> Calcolatore SST<br \/> Calcolatore RSS<br \/> Calcolatore ESS<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La regressione lineare viene utilizzata per trovare la linea che meglio si \u201cadatta\u201d a un insieme di dati. 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