{"id":216,"date":"2023-08-04T02:39:23","date_gmt":"2023-08-04T02:39:23","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-beta\/"},"modified":"2023-08-04T02:39:23","modified_gmt":"2023-08-04T02:39:23","slug":"distribuzione-beta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-beta\/","title":{"rendered":"Distribuzione beta"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione beta e a cosa serve. Allo stesso modo, potrai vedere il grafico della distribuzione beta e le propriet\u00e0 di questo tipo di distribuzione di probabilit\u00e0. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-beta\"><\/span> Qual \u00e8 la distribuzione beta?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La <strong>distribuzione beta<\/strong> \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 definita sull&#8217;intervallo (0,1) e parametrizzata da due parametri positivi: \u03b1 e \u03b2. In altre parole, i valori della distribuzione beta dipendono dai parametri \u03b1 e \u03b2.<\/p>\n<p> Pertanto, la caratteristica principale della distribuzione beta \u00e8 che la sua forma pu\u00f2 essere controllata dai parametri \u03b1 e \u03b2. Inoltre, la distribuzione beta viene utilizzata per definire variabili casuali il cui valore \u00e8 compreso tra 0 e 1.<\/p>\n<p> Esistono diverse notazioni per indicare che una variabile casuale continua \u00e8 governata da una distribuzione beta, le pi\u00f9 comuni sono:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1d0d8a1624a017b8ef9ce8a67c694e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex]X\\sim Beta(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex]X\\sim \\beta_{\\alpha,\\beta}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"121\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nelle statistiche, la distribuzione beta ha applicazioni molto diverse. Ad esempio, la distribuzione beta viene utilizzata per studiare le variazioni percentuali in diversi campioni. Allo stesso modo, nella gestione dei progetti, la distribuzione beta viene utilizzata per eseguire l&#8217;analisi Pert. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-beta\"><\/span> Grafico della distribuzione beta<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Considerando la definizione di distribuzione beta, di seguito sono tracciate la funzione di densit\u00e0 e la funzione di distribuzione di probabilit\u00e0 della distribuzione beta.<\/p>\n<p> Di seguito puoi vedere come varia il grafico della funzione di densit\u00e0 della distribuzione beta a seconda dei parametri \u03b1 e \u03b2. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-graphique-beta.png\" alt=\"grafico di distribuzione beta\" class=\"wp-image-4315\" width=\"621\" height=\"372\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Allo stesso modo, qui sotto potete vedere la rappresentazione grafica della probabilit\u00e0 cumulativa della distribuzione beta in base ai parametri \u03b1 e \u03b2. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-beta-cumulative.png\" alt=\"grafico di distribuzione beta cumulativa\" class=\"wp-image-4316\" width=\"621\" height=\"373\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-beta\"><\/span> Caratteristiche della distribuzione beta<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In questa sezione vedremo quali sono le caratteristiche pi\u00f9 importanti della distribuzione beta.<\/p>\n<ul>\n<li> I parametri \u03b1 e \u03b2 della distribuzione beta sono numeri reali e positivi.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-442bebaba847543d6db71cdf0127a4b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\alpha >0\\\\[2ex] \\beta >0\\end{array}&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;54&#8243; width=&#8221;44&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il dominio della distribuzione beta varia da 0 a 1, i due estremi non sono inclusi.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60f8667881e2c5a08eae2db3c3e04708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La media della distribuzione beta \u00e8 uguale ad alfa diviso per la somma alfa pi\u00f9 beta.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4530a8b72211111e8bec79b6388e00a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex] E[X]=\\cfrac{\\alpha}{\\alpha+\\beta}\\end{array} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"111\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La varianza della distribuzione beta pu\u00f2 essere calcolata utilizzando la seguente formula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71c6ef40db833722e63c56cd763d6601_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex] Var(X)=\\cfrac{\\alpha\\cdot \\beta}{(\\alpha+\\beta+1)\\cdot (\\alpha+\\beta)^2}\\end{array} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"82\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Per valori di alfa e beta maggiori di 1 la modalit\u00e0 di distribuzione beta pu\u00f2 essere facilmente trovata con la seguente espressione:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-472cafc0cf9d1cf782206ddc7c9475d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Mo=\\cfrac{\\alpha-1}{\\alpha+\\beta-2}\\qquad \\alpha,\\beta>1&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;42&#8243; width=&#8221;225&#8243; style=&#8221;vertical-align: -16px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La funzione di densit\u00e0 della distribuzione beta \u00e8 la seguente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48f1f2a13df23d7c779bc37da4b49368_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\frac{x^{\\alpha-1}(1-x)^{\\beta-1}}{B(\\alpha,\\beta)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove B(\u03b1,\u03b2) \u00e8 la funzione beta, che \u00e8 definita come:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4eb1d2659d9993f9d05a35cce63fc14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B(\\alpha,\\beta)=\\int_0^1x^{\\alpha-1}(1-x)^{\\beta-1}dx\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La funzione di probabilit\u00e0 cumulativa della distribuzione beta \u00e8:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-031b21ea3e2964d3ac4e6f222356d55b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\frac{B(x;\\alpha,\\beta)}{B(\\alpha,\\beta)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove B(x;\u03b1,\u03b2) \u00e8 la funzione beta incompleta, definita come:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c64764f48f86e8f97df5ed1e8d7fbe6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B(x;\\,a,b) = \\int_0^x t^{a-1}\\,(1-t)^{b-1}\\,dt\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se X \u00e8 una variabile definita da una distribuzione beta, allora 1-X \u00e8 una variabile definita da una distribuzione beta i cui parametri alfa e beta sono rispettivamente i parametri beta e alfa della distribuzione beta originale.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c65dd399bb92ffe982784a6c1b6e5b0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim B(\\alpha,\\beta) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ 1-X\\sim B(\\beta,\\alpha)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"361\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se i parametri alfa e beta della distribuzione beta sono entrambi uguali a 1, allora la distribuzione \u00e8 equivalente a una distribuzione uniforme dei parametri 0 e 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10010ad6c6959b44a8ae0fe4361b4034_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim B(1,1) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim U(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione beta e a cosa serve. 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