{"id":225,"date":"2023-08-03T23:58:33","date_gmt":"2023-08-03T23:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-gamma\/"},"modified":"2023-08-03T23:58:33","modified_gmt":"2023-08-03T23:58:33","slug":"distribuzione-gamma","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-gamma\/","title":{"rendered":"Distribuzione gamma"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione gamma e a cosa serve. Troverai quindi la definizione della distribuzione gamma, le sue propriet\u00e0 e come appare la sua rappresentazione grafica. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-gamma\"><\/span> Qual \u00e8 la distribuzione gamma?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La <strong>distribuzione gamma<\/strong> \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 continua definita da due parametri caratteristici, \u03b1 e \u03bb. In altre parole, la distribuzione gamma dipende dal valore dei suoi due parametri: \u03b1 \u00e8 il parametro di forma e \u03bb \u00e8 il parametro di scala.<\/p>\n<p> Il simbolo della distribuzione gamma \u00e8 la lettera greca maiuscola \u0393. Quindi, se una variabile casuale segue una distribuzione gamma, si scrive come segue:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b0ab2e724ffd74455d0907b39f4a598_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\Gamma(\\alpha,\\lambda)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> La distribuzione gamma pu\u00f2 anche essere parametrizzata utilizzando il parametro di forma k = \u03b1 e il parametro di scala inversa \u03b8 = 1\/\u03bb. In tutti i casi, i due parametri che definiscono la distribuzione gamma sono numeri reali positivi.<\/p>\n<p> In genere, la distribuzione gamma viene utilizzata per modellare set di dati inclinati a destra, in modo che vi sia una maggiore concentrazione di dati sul lato sinistro del grafico. Ad esempio, la distribuzione gamma viene utilizzata per modellare l&#8217;affidabilit\u00e0 dei componenti elettrici.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-gamma\"><\/span> Diagramma di distribuzione gamma<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il grafico della distribuzione gamma dipende dai valori dei suoi parametri caratteristici. Di seguito puoi vedere come varia la funzione di densit\u00e0 della distribuzione gamma in base al parametro di forma e al parametro di scala. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/trace-de-distribution-gamma.png\" alt=\"grafico della distribuzione gamma\" class=\"wp-image-4536\" width=\"648\" height=\"388\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> D&#8217;altra parte, puoi vedere il grafico della funzione di probabilit\u00e0 cumulativa della distribuzione gamma qui sotto: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-gamma-probabilite-cumulative.png\" alt=\"grafico della funzione di probabilit\u00e0 cumulativa della distribuzione Gamm\" class=\"wp-image-4537\" width=\"648\" height=\"388\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-gamma\"><\/span> Caratteristiche della distribuzione gamma<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Vedremo poi quali sono le caratteristiche della distribuzione gamma.<\/p>\n<ul>\n<li> Il grafico della distribuzione gamma \u00e8 interamente definito dai suoi due parametri caratteristici: \u03b1 \u00e8 il parametro di forma e \u03bb \u00e8 il parametro di scala.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9640d41832cbcef7d0a7791c55ace57e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha , \\lambda >0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;16&#8243; width=&#8221;62&#8243; style=&#8221;vertical-align: -4px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il dominio della distribuzione gamma \u00e8 composto solo da numeri positivi.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f543506f97e1f9c5a56ccc4566a3febf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La media della distribuzione gamma \u00e8 pari al rapporto tra il parametro di forma e il parametro di scala, ovvero \u03b1\/\u03bb.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-326373413d0fe34ef96959dabe9c5cbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E[X]=\\cfrac{\\alpha}{\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La varianza della distribuzione gamma \u00e8 equivalente al parametro di forma diviso per il quadrato del parametro di scala.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693a549de92268ac21add32944199974_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\cfrac{\\alpha}{\\lambda^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Per valori di \u03b1 inferiori a 1 la moda \u00e8 0. Ma se \u03b1 \u00e8 uguale o maggiore di 1, la moda della distribuzione gamma pu\u00f2 essere calcolata con la seguente formula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9e2762af62f9c38870902ec0284ee07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}Mo=0 \\qquad \\text{para } \\alpha<1\\\\[2ex]Mo=\\cfrac{\\alpha-1}{\\lambda} \\qquad \\text{para } \\alpha\\geq1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"214\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La formula per la funzione di densit\u00e0 della distribuzione gamma \u00e8:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41689ffee11808eab10064a7f3a77693_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{\\lambda(\\lambda x)^{\\alpha-1}e^{-\\lambda x}}{\\Gamma(\\alpha)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dove \u0393 \u00e8 la funzione gamma, che \u00e8 definita come:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e244faebd1174cb6a56e4254bdaaec1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\Gamma(\\alpha)=\\int_0^\\infty t^{\\alpha-1}e^{-t}dt\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La formula per la distribuzione cumulativa di una variabile casuale definita da una distribuzione gamma \u00e8 la seguente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bc3247a247daec5048c409319dc3943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle F(x)=\\int_0^x\\frac{\\lambda(\\lambda y)^{\\alpha-1}e^{-\\lambda y}}{\\Gamma(\\alpha)}\\;dy\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se il parametro di forma \u03b1 \u00e8 uguale a 1, allora la distribuzione gamma \u00e8 equivalente a una distribuzione esponenziale con lo stesso parametro di scala \u03bb.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60ed376f92f0db2c22e19f85bb76f828_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\Gamma(1,\\lambda) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim \\text{Exp}(\\lambda)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Quando il parametro di scala \u03bb \u00e8 una media, la distribuzione gamma \u00e8 un caso speciale della <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-chi-quadrato\/\">distribuzione chi-quadrato<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efb733464c432d7d1b22ed7e5c534979_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle X\\sim \\Gamma\\left(\\frac{n}{2},\\frac{1}{2}\\right) \\text{con } n\\in \\mathbb{N}\\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim \\chi_n^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione gamma e a cosa serve. 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