{"id":233,"date":"2023-08-03T20:59:59","date_gmt":"2023-08-03T20:59:59","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale-negativa-1\/"},"modified":"2023-08-03T20:59:59","modified_gmt":"2023-08-03T20:59:59","slug":"distribuzione-binomiale-negativa-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale-negativa-1\/","title":{"rendered":"Distribuzione binomiale negativa"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione binomiale negativa e a cosa serve. Troverai anche la formula per la distribuzione binomiale negativa, un esempio concreto e le propriet\u00e0 di questo tipo di distribuzione di probabilit\u00e0. Infine, potrai calcolare qualsiasi probabilit\u00e0 di distribuzione binomiale negativa con un calcolatore online. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Qual \u00e8 la distribuzione binomiale negativa?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La <strong>distribuzione binomiale negativa<\/strong> \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 che descrive il numero di prove Bernoulliane necessarie per ottenere un dato numero di risultati positivi.<\/p>\n<p> Pertanto, una distribuzione binomiale negativa ha due parametri caratteristici: <em>r<\/em> \u00e8 il numero di risultati positivi desiderati e <em>p<\/em> \u00e8 la probabilit\u00e0 di successo per ogni esperimento di Bernoulli eseguito.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{BN}(r,p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ricorda che un test di Bernoulli \u00e8 un esperimento che ha due possibili esiti: &#8220;successo&#8221; e &#8220;fallimento&#8221;. Quindi se la probabilit\u00e0 di \u201csuccesso\u201d \u00e8 <em>p<\/em> , la probabilit\u00e0 di \u201cfallimento\u201d \u00e8 <em>q=1-p<\/em> .<\/p>\n<p> Pertanto, una distribuzione binomiale negativa definisce un processo in cui vengono eseguite tutte le prove di Bernoulli necessarie per ottenere <em>risultati<\/em> positivi. Inoltre, tutti questi studi di Bernoulli sono indipendenti e hanno una probabilit\u00e0 di <em>successo<\/em> costante.<\/p>\n<p> Ad esempio, una variabile casuale che segue una distribuzione binomiale negativa \u00e8 il numero di volte in cui \u00e8 necessario lanciare un dado finch\u00e9 non viene lanciato tre volte il numero 6.<\/p>\n<p> La differenza tra una distribuzione binomiale negativa e una distribuzione binomiale \u00e8 che la distribuzione binomiale negativa conta il numero di volte necessarie per ottenere un certo numero di risultati positivi, mentre la distribuzione binomiale conta il numero di casi positivi in una serie di test di Bernoulli. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale-1\/\">Cos&#8217;\u00e8 la distribuzione binomiale?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Formula di distribuzione binomiale negativa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dati i parametri <em>r, p, x,<\/em> la probabilit\u00e0 di una distribuzione binomiale negativa viene calcolata moltiplicando il numero combinatorio di <em>x-1<\/em> in <em>xr<\/em> per <em>(1-p) <sup>xr<\/sup><\/em> per <em>p <sup>r<\/sup><\/em> .<\/p>\n<p> Quindi, la <strong>formula per calcolare una probabilit\u00e0 di distribuzione binomiale negativa<\/strong> \u00e8: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/formule-de-distribution-binomiale-negative.png\" alt=\"Formula di distribuzione binomiale negativa\" class=\"wp-image-4813\" width=\"318\" height=\"319\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare la probabilit\u00e0 di una variabile che segue la distribuzione binomiale negativa.<\/u> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicio-resuelto-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Esercizio risolto della distribuzione binomiale negativa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che lanciando una moneta otto volte, all&#8217;ottavo lancio esca testa una quarta volta?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Per prima cosa dobbiamo calcolare la probabilit\u00e0 che esca testa lanciando una moneta. In questo caso, abbiamo solo un risultato positivo (testa) su due possibili risultati (testa e croce), quindi la probabilit\u00e0 di successo \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdceac6409b69d142f23801ec85e2691_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la variabile casuale in questo problema segue una distribuzione binomiale negativa dove r=4 e p=0,5. Utilizziamo quindi la formula della distribuzione binomiale negativa per calcolare la probabilit\u00e0 che l&#8217;esercizio ci chiede di fare. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc56100604e5889a6d169c0395f19ebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P[X=x]&amp;=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\\\\[2ex]\\displaystyle P[X=8]&amp;=\\begin{pmatrix}8-1\\\\ 8-4\\end{pmatrix}\\cdot (1-0,5)^{8-4}\\cdot 0,5^4\\\\[2ex] P[X=8]&amp;=0,1367\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Caratteristiche della distribuzione binomiale negativa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Di seguito sono riportate le caratteristiche pi\u00f9 importanti della distribuzione binomiale negativa.<\/p>\n<ul>\n<li> La distribuzione binomiale negativa \u00e8 definita da due parametri caratteristici: <em>r<\/em> \u00e8 il numero di risultati positivi desiderati e <em>p<\/em> \u00e8 la probabilit\u00e0 di successo per ogni esperimento di Bernoulli eseguito.<\/li>\n<\/ul>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\begin{array}{c}r\\in \\mathbb{Z}^+ \\\\[2ex] 0 &lt;ul&gt;&lt;li&gt; The mean of the negative binomial distribution is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided by &lt;em&gt;p&lt;\/em&gt; . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: &lt;\/li&gt;&lt;\/ul&gt;[latex]E[X]=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p}\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\begin{array}{c}\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...The mean of the binomial distribution born\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ... the negative binomial distribution is\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...negative binomial distribution is equal to\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...gative is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...m&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...the mean of a binomial distribution born\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\n\n<\/pre>\n<ul>\n<li> La varianza di una distribuzione binomiale negativa \u00e8 uguale a <em>r<\/em> moltiplicato per <em>(1-p)<\/em> diviso per <em>p <sup>2<\/sup><\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c82d66018d0715f20318f383cf7c04c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se il parametro <em>r<\/em> \u00e8 maggiore di 1, la modalit\u00e0 di una distribuzione binomiale negativa pu\u00f2 essere calcolata con la seguente formula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600d3f94b3cd3927f264450bcd043a86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lfloor \\frac{(r-1)(1-p)}{p}\\rfloor\\quad \\text{para }r>1&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;42&#8243; width=&#8221;221&#8243; style=&#8221;vertical-align: -16px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La funzione di massa che permette di determinare una probabilit\u00e0 di distribuzione binomiale negativa \u00e8 la seguente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beafc8c08e7aad51059349dfd2addd5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[X=x]=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Il coefficiente di asimmetria di una distribuzione binomiale negativa si calcola con la seguente espressione:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc0a97cdf77d4dd439c71cf8637e53c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{2-p}{\\sqrt{r\\,(1-p)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> La curtosi di una distribuzione binomiale negativa pu\u00f2 essere trovata con la seguente formula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-510199601f8ac60aa64008f00d959562_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\frac{6}{r} + \\frac{p^2}{r\\,(1-p)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se il parametro <em>r<\/em> \u00e8 uguale a 1, allora abbiamo un caso di <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-geometrica\/\">distribuzione geometrica<\/a> . <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24bb5ef017a69a1a9de1e07f32412fcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r=1 \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad X\\sim \\text{Geometrica}(p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Calcolatore della distribuzione binomiale negativa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Inserisci i valori dei parametri <em>r, p, x<\/em> nella seguente calcolatrice per calcolare la probabilit\u00e0. \u00c8 necessario inserire i numeri utilizzando il punto come separatore decimale, ad esempio 0,50.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Numero di risultati positivi <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2060a909f2905bcbe83f8fe9152c2284_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"r\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de r aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Probabilit\u00e0 di successo di ciascun esperimento <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67f693705a2e492d8981f0ed1387c3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"prob\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de p aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Numero totale di esperimenti effettuati <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04ae6e91e4423afa96cc9b717c007c88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"xigual\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de x aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Calcola la probabilit\u00e0\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la distribuzione binomiale negativa e a cosa serve. 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