{"id":243,"date":"2023-08-03T17:38:49","date_gmt":"2023-08-03T17:38:49","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza-per-la-media\/"},"modified":"2023-08-03T17:38:49","modified_gmt":"2023-08-03T17:38:49","slug":"intervallo-di-confidenza-per-la-media","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza-per-la-media\/","title":{"rendered":"Intervallo di confidenza per la media"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 l&#8217;intervallo di confidenza per la media nelle statistiche e a cosa serve. Allo stesso modo, scoprirai come calcolare l&#8217;intervallo di confidenza della media e un esercizio passo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-intervalo-de-confianza-para-la-media\"><\/span> Qual \u00e8 l&#8217;intervallo di confidenza della media?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> L&#8217; <strong>intervallo di confidenza per la media<\/strong> \u00e8 un intervallo che fornisce un intervallo di valori consentiti per la media di una popolazione. In altre parole, l&#8217;intervallo di confidenza per la media ci fornisce un valore massimo e un valore minimo tra i quali collega il valore della media della popolazione con un margine di errore.<\/p>\n<p> Ad esempio, se l&#8217;intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione \u00e8 (6,10), ci\u00f2 significa che nel 95% dei casi la media della popolazione sar\u00e0 compresa tra 6 e 10.<\/p>\n<p> Pertanto, l&#8217;intervallo di confidenza della media viene utilizzato per stimare due valori tra i quali si trova la media di una popolazione. Pertanto, l\u2019intervallo di confidenza della media \u00e8 molto utile per approssimare la media di una popolazione quando tutti i suoi valori sono sconosciuti. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-intervalo-de-confianza-para-la-media\"><\/span> Formula dell&#8217;intervallo di confidenza per la media<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Supponendo che il processo di <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/tipizzazione\/\">immissione di una variabile<\/a> proceda in questo modo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f93a5e76c38b2e2556bd62ba66db5947_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{X-\\mu}{\\displaystyle\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> L&#8217;intervallo di confidenza per la media viene calcolato aggiungendo e sottraendo dalla media campionaria il valore di Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> moltiplicato per la deviazione standard (\u03c3) e diviso per la radice quadrata della dimensione del campione (n). Pertanto la formula per calcolare l\u2019intervallo di confidenza della media \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-985a374c69b468deb3d6d159fcbe6de5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per campioni di grandi dimensioni e livello di confidenza del 95%, il valore critico \u00e8 Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 1,96 e per il livello di confidenza del 99%, il valore critico \u00e8 Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 2,576.<\/p>\n<p> La formula precedente viene utilizzata quando \u00e8 nota la varianza della popolazione. Tuttavia, se la varianza della popolazione non \u00e8 nota, come accade nella maggior parte dei casi, <strong>l&#8217;intervallo di confidenza della media viene calcolato utilizzando la seguente formula:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40e2c40fbfe4f5aa96c21ff979aae5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la media del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33bd5d525ddf37600aef97b0c8c08f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della distribuzione t di Student di n-1 gradi di libert\u00e0 con una probabilit\u00e0 di \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la deviazione standard del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/intervalle-de-confiance.png\" alt=\"intervallo di confidenza\" class=\"wp-image-5249\" width=\"351\" height=\"339\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-un-intervalo-de-confianza-para-la-media\"><\/span> Esempio di calcolo di un intervallo di confidenza per la media<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Affinch\u00e9 tu possa vedere come viene calcolato l&#8217;intervallo di confidenza per la media di una popolazione, ti lasciamo di seguito un esempio risolto passo dopo passo.<\/p>\n<ul>\n<li> Abbiamo un campione di 8 osservazioni con i valori riportati di seguito. Qual \u00e8 l&#8217;intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di confidenza del 95%?<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"> 206 203 201 212<br \/> 194 176 208 201<\/p>\n<p> Come abbiamo visto nella sezione precedente, la formula per ottenere l\u2019intervallo di confidenza della media di una popolazione quando non conosciamo la deviazione standard della popolazione \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40e2c40fbfe4f5aa96c21ff979aae5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, per determinare l\u2019intervallo di confidenza della media, dobbiamo prima calcolare la media campionaria e la deviazione standard. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4db3aa9e4a141ef4ac81e1816a243ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\mu =200,13 \\\\[4ex]s=11,13\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"69\" width=\"87\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/media-aritmetica\/\">Calcolatore della media aritmetica<\/a><br \/> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/deviazione-standard-o-deviazione-standard\/\">Calcolatore della deviazione standard<\/a><\/div>\n<p> Poich\u00e9 vogliamo trovare l&#8217;intervallo di confidenza con un livello di confidenza di 1-\u03b1=95% e la dimensione del campione \u00e8 8, dobbiamo accedere alla tabella della distribuzione t di Student e vedere quale valore corrisponde a t <sub>0.025|7<\/sub> . <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-776a555edd1d064cf29a3a354caa5325_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1-\\alpha=0,95 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\alpha=0,05 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ \\alpha\/2=0,025\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"534\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2caa8c4576ebc261acfdb1341dc4567d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}t_{\\alpha\/2| n-1}= \\ \\color{orange}\\bm{?}\\\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"72\" width=\"152\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/tabella-di-distribuzione-t-degli-studenti\/\">Valori della tabella della distribuzione t di Student<\/a><\/div>\n<p> Quindi applichiamo la formula dell&#8217;intervallo di confidenza per la media ed eseguiamo i calcoli per trovare i limiti dell&#8217;intervallo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40e2c40fbfe4f5aa96c21ff979aae5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c9bc920ed22b19f5b15528eef268878_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(200,13-2,365\\cdot \\frac{11,13}{\\sqrt{8}} \\ , \\ 200,13+2,365\\cdot \\frac{11,13}{\\sqrt{8}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-322fdcebe92ea2e3868440918d39d431_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(190,82 \\ , \\ 209,43 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In conclusione, l&#8217;intervallo di confidenza calcolato ci dice che con un livello di confidenza del 95%, la media della popolazione sar\u00e0 compresa tra 190,82 e 209,43.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 l&#8217;intervallo di confidenza per la media nelle statistiche e a cosa serve. 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