{"id":250,"date":"2023-08-03T15:17:12","date_gmt":"2023-08-03T15:17:12","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza\/"},"modified":"2023-08-03T15:17:12","modified_gmt":"2023-08-03T15:17:12","slug":"intervallo-di-confidenza","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza\/","title":{"rendered":"Intervallo di confidenza"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 un intervallo di confidenza nelle statistiche e a cosa serve. Troverai anche i fattori che influenzano gli intervalli di confidenza e come viene calcolato un intervallo di confidenza. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-intervalo-de-confianza\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 un intervallo di confidenza?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In statistica, l&#8217; <strong>intervallo di confidenza<\/strong> \u00e8 un intervallo che fornisce un&#8217;approssimazione dei valori tra i quali il valore di un parametro della popolazione si lega ad un certo livello di confidenza. Gli intervalli di confidenza pi\u00f9 comuni hanno un livello di confidenza del 95% o 99%.<\/p>\n<p> Ad esempio, se l&#8217;intervallo di confidenza per la media di una popolazione con un livello di confidenza del 95% \u00e8 (3,7), ci\u00f2 significa che la media della popolazione studiata sar\u00e0 compresa tra 3 e 7 con una probabilit\u00e0 del 95%.<\/p>\n<p> Pertanto, l\u2019intervallo di confidenza viene utilizzato per stimare due valori tra i quali si trova un parametro della popolazione. Generalmente i valori dei parametri della popolazione non sono noti, quindi dai dati presenti in un campione viene calcolato un intervallo di confidenza per avere una stima dei parametri della popolazione. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"factores-que-influyen-en-el-intervalo-de-confianza\"><\/span> Fattori che influenzano l&#8217;intervallo di confidenza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Una volta vista la definizione di intervallo di confidenza, vedremo quali sono i fattori da cui dipendono gli intervalli di confidenza per comprendere meglio il concetto.<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Dimensione del campione<\/strong> : il numero di osservazioni studiate influenza la precisione dell&#8217;intervallo di confidenza, poich\u00e9 pi\u00f9 dati abbiamo, pi\u00f9 un valore pu\u00f2 essere stimato. In generale, maggiore \u00e8 la dimensione del campione, minore \u00e8 l\u2019ampiezza dell\u2019intervallo di confidenza.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Margine di errore<\/strong> : maggiore \u00e8 l&#8217;errore consentito, maggiore \u00e8 l&#8217;intervallo di confidenza e quindi maggiore \u00e8 la probabilit\u00e0 che il valore reale del parametro rientri nell&#8217;intervallo di confidenza. Tuttavia, il margine di errore diminuisce la precisione dell\u2019intervallo di confidenza.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Livello di confidenza<\/strong> : \u00e8 la probabilit\u00e0 che la stima della statistica della popolazione rientri nell&#8217;intervallo di confidenza. Tipicamente, il livello di confidenza di un intervallo \u00e8 indicato come 1-\u03b1 ed \u00e8 espresso in percentuale. Un livello di confidenza elevato aumenta la probabilit\u00e0 che il valore vero sia compreso tra i limiti dell&#8217;intervallo, ma aumenta anche l&#8217;ampiezza dell&#8217;intervallo.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Il parametro stimato<\/strong> : l&#8217;intervallo di confidenza dipende dal parametro da approssimare. Infatti la formula da utilizzare per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza dipende dal parametro approssimativo.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-el-intervalo-de-confianza\"><\/span> Come calcolare l&#8217;intervallo di confidenza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Di seguito viene presentata la formula da applicare per calcolare ciascun tipo di intervallo di confidenza, poich\u00e9 a seconda che si voglia determinare l&#8217;intervallo di confidenza per la media, la varianza o la proporzione, la formula da utilizzare \u00e8 diversa. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-media\"><\/span> Intervallo di confidenza per la media<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> A partire dal fatto che il processo di digitazione di una variabile si svolge come segue:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f93a5e76c38b2e2556bd62ba66db5947_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{X-\\mu}{\\displaystyle\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> L&#8217;intervallo di confidenza per la media viene calcolato aggiungendo e sottraendo dalla media campionaria il valore di Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> moltiplicato per la deviazione standard (\u03c3) e diviso per la radice quadrata della dimensione del campione (n). Pertanto la formula per calcolare l\u2019intervallo di confidenza della media \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-985a374c69b468deb3d6d159fcbe6de5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Per campioni di grandi dimensioni e livello di confidenza del 95%, il valore critico \u00e8 Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 1,96 e per il livello di confidenza del 99%, il valore critico \u00e8 Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 2,576.<\/p>\n<p> La formula precedente viene utilizzata quando \u00e8 nota la varianza della popolazione. Tuttavia, se la varianza della popolazione non \u00e8 nota, che \u00e8 il caso pi\u00f9 comune, <strong>l\u2019intervallo di confidenza per la media viene calcolato utilizzando la seguente formula:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40e2c40fbfe4f5aa96c21ff979aae5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la media del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33bd5d525ddf37600aef97b0c8c08f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della distribuzione t di Student di n-1 gradi di libert\u00e0 con probabilit\u00e0 \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la deviazione standard del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/intervalle-de-confiance.png\" alt=\"intervallo di confidenza\" class=\"wp-image-5249\" width=\"351\" height=\"339\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza-per-la-media\/\">Esempio di calcolo dell&#8217;intervallo di confidenza della media<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-varianza\"><\/span> Intervallo di confidenza per la varianza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione, viene utilizzata la distribuzione chi quadrato. Pi\u00f9 specificamente, la <strong>formula per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza per la varianza<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c81b971afee9691573e8400dc0945c37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left( (n-1)\\frac{s^2}{\\chi_{n-1;\\alpha\/2}} \\ , \\ (n-1)\\frac{s^2}{\\chi_{n-1;1-\\alpha\/2}}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"304\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la deviazione standard del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1f2f5b5bd065f40d0b8c175d6d48950_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{n-1;\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della distribuzione Chi-quadrato con n-1 gradi di libert\u00e0 per una probabilit\u00e0 inferiore a \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1726e9973441084f7ac98c5550f1b23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{n-1;1-\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della distribuzione Chi-quadrato con n-1 gradi di libert\u00e0 per una probabilit\u00e0 maggiore di 1-\u03b1\/2. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza-per-la-varianza\/\">Esempio di calcolo dell&#8217;intervallo di confidenza per la varianza<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-proporcion\"><\/span> Intervallo di confidenza per la proporzione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> L&#8217;intervallo di confidenza per la proporzione viene calcolato aggiungendo e sottraendo dalla proporzione campionaria il valore di Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> moltiplicato per la radice quadrata della proporzione campionaria (p) moltiplicata per 1-p e divisa per la dimensione del campione (n). Pertanto, la <strong>formula per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza per la proporzione<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a328986eaa330c075c7fb85780df6411_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(p-Z_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\ , \\ p+Z_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\right) \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5faad0904f612a3fa5b27faafb8dc903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la proporzione campionaria.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:7px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f8ee37ecf97c2a7c7d6dbe8fddddc27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il quantile della distribuzione normale standard corrispondente a una probabilit\u00e0 di \u03b1\/2. Per campioni di grandi dimensioni e un livello di confidenza del 95% \u00e8 solitamente vicino a 1,96 mentre per un livello di confidenza del 99% \u00e8 solitamente vicino a 2,576. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/intervallo-di-confidenza-per-la-proporzione\/\">Esempio di calcolo dell&#8217;intervallo di confidenza per la proporzione<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 un intervallo di confidenza nelle statistiche e a cosa serve. Troverai anche i fattori che influenzano gli intervalli di confidenza e come viene calcolato un intervallo di confidenza. Cos&#8217;\u00e8 un intervallo di confidenza? 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