Il metodo dei minimi quadrati<\/strong> \u00e8 un metodo statistico utilizzato per determinare l’equazione di una regressione. In altre parole, il metodo dei minimi quadrati \u00e8 un criterio utilizzato in un modello di regressione per ridurre al minimo l’errore ottenuto nel calcolo dell’equazione di regressione.<\/p>\n Concretamente, il metodo dei minimi quadrati consiste nel minimizzare la somma dei quadrati dei residui, o in altre parole si basa nel minimizzare la somma dei quadrati delle differenze tra i valori previsti dal modello di regressione e i valori osservati . . Di seguito vedremo in dettaglio come un modello di regressione viene adattato secondo il criterio dei minimi quadrati.<\/p>\n La caratteristica principale del metodo dei minimi quadrati \u00e8 che le distanze maggiori tra i valori osservati e la funzione di regressione sono ridotte al minimo. A differenza di altri criteri di regressione, il metodo dei minimi quadrati considera pi\u00f9 importante minimizzare i residui grandi rispetto a quelli piccoli, poich\u00e9 il quadrato di un numero grande \u00e8 molto pi\u00f9 grande del quadrato di uno piccolo. numero.<\/p>\n Per comprendere appieno il concetto di minimi quadrati, dobbiamo prima essere chiari su cosa sono i residui in un modello di regressione. Vedremo quindi di seguito cos’\u00e8 un errore di stima e come viene calcolato.<\/p>\n In statistica, l’ errore di stima<\/strong> , chiamato anche residuo<\/strong> , \u00e8 la differenza tra il valore reale e il valore adattato dal modello di regressione. Un residuo statistico viene quindi calcolato come segue:<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il residuo dei dati i.<\/li>\n \u00e8 il valore reale dei dati i.<\/li>\n \u00e8 il valore fornito dal modello di regressione per i dati i.<\/li>\n<\/ul>\n Pertanto, quanto pi\u00f9 grande \u00e8 il residuo di un dato, tanto meno il modello di regressione si adatta a quel dato. Pertanto, quanto pi\u00f9 piccolo \u00e8 un residuo, tanto minore \u00e8 la distanza tra il suo valore effettivo e il suo valore previsto.<\/p>\n Allo stesso modo, se il residuo di un dato \u00e8 positivo, significa che il modello di regressione prevede un valore inferiore al valore reale. mentre se il residuo \u00e8 negativo significa che il valore previsto \u00e8 maggiore del valore effettivo. <\/p>\n Ora che sappiamo cos’\u00e8 un residuo in statistica, sar\u00e0 pi\u00f9 facile capire come vengono minimizzati i quadrati di errore.<\/p>\n Il quadrato di un errore<\/strong> \u00e8 il quadrato di un residuo, quindi il quadrato di un errore \u00e8 uguale alla differenza tra il valore vero e il valore adattato dal modello di regressione elevato alla potenza di due.<\/p>\n<\/p>\n Oro:<\/p>\n \u00e8 il quadrato del residuo dei dati i.<\/li>\n \u00e8 il valore reale dei dati i.<\/li>\n \u00e8 il valore fornito dal modello di regressione per i dati i.<\/li>\n<\/ul>\n Pertanto, il metodo dei minimi quadrati consiste nel creare un modello di regressione minimizzando la somma dei quadrati degli errori<\/strong> . Il criterio dei minimi quadrati si basa quindi sulla minimizzazione della seguente espressione:<\/p>\n<\/p>\n Questo \u00e8 il motivo per cui il criterio dei minimi quadrati \u00e8 anche chiamato criterio dei minimi quadrati.<\/p>\n Come puoi vedere nella formula precedente, il criterio dei minimi quadrati attribuisce pi\u00f9 importanza alla minimizzazione dei residui grandi rispetto a quelli piccoli. Ad esempio, se un residuo \u00e8 3 e un altro residuo \u00e8 5, i loro quadrati sono rispettivamente 9 e 25, quindi il criterio dei minimi quadrati dar\u00e0 priorit\u00e0 alla minimizzazione del secondo residuo prima del primo residuo. <\/p>\n L’adattamento di un modello di regressione utilizzando il criterio dei minimi quadrati<\/strong> consiste nel trovare un modello di regressione che minimizzi i quadrati dei residui. Pertanto, l’equazione ottenuta dal modello di regressione sar\u00e0 quella i cui quadrati delle differenze tra i valori osservati e i valori adattati sono minimi.<\/p>\n Si noti nell’esempio seguente che esistono pi\u00f9 criteri per la creazione di un modello di regressione e, a seconda del criterio scelto, l’equazione di regressione \u00e8 diversa. <\/p>\n Come puoi vedere negli esempi precedenti, la linea ottenuta dal modello di regressione lineare per lo stesso set di dati dipende dal criterio scelto. Generalmente, nei modelli di regressione viene utilizzato il criterio dei minimi quadrati.<\/p>\n In statistica, il modello di regressione pi\u00f9 utilizzato \u00e8 il modello di regressione lineare semplice, che consiste nell’approssimare la relazione tra la variabile indipendente X e la variabile dipendente Y utilizzando una linea retta.<\/p>\n<\/p>\n Pertanto, le formule per adattare un set di dati a un modello di regressione lineare semplice sono:<\/p>\n<\/p>\n Puoi vedere un esempio di come viene calcolato un modello di regressione lineare semplice utilizzando il criterio dei minimi quadrati facendo clic sul seguente collegamento: <\/p>\n<\/span> Errore di stima<\/span><\/h2>\n
![\"e_i=y_i-\\widehat{y}_i\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2028e64ca2c0035860e93c4bf244e2f1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/span> Ridurre al minimo i quadrati di errore<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"e_i^2\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56f396eccc309c513ef34dc82f6fcd9b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a82d4d723b77093b4d584609f372cd7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Aggiustamento dei minimi quadrati<\/span><\/h2>\n
![\"metodo](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/ajustement-par-les-moindres-carres.png\")
<\/figure>\n![\"y=b_0+b_1x\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92da05e7be03363fecef8974393a84fd_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n