{"id":307,"date":"2023-08-02T18:39:40","date_gmt":"2023-08-02T18:39:40","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-determinazione-r-al-quadrato\/"},"modified":"2023-08-02T18:39:40","modified_gmt":"2023-08-02T18:39:40","slug":"coefficiente-di-determinazione-r-al-quadrato","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-determinazione-r-al-quadrato\/","title":{"rendered":"Coefficiente di determinazione (r quadrato)"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il coefficiente di determinazione (o R quadrato) in statistica. Scoprirai quindi come calcolare il coefficiente di determinazione, come viene interpretato e, inoltre, un calcolatore online per calcolare il coefficiente di determinazione di un campione di dati. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-coeficiente-de-determinacion-r-cuadrado\"><\/span> Qual \u00e8 il coefficiente di determinazione (R quadrato)?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il <strong>coefficiente di determinazione<\/strong> , il cui simbolo \u00e8 <strong>R <sup>2<\/sup><\/strong> ( <strong>R al quadrato<\/strong> ), \u00e8 una statistica che misura la bont\u00e0 di adattamento di un modello di regressione. Il coefficiente di determinazione mostra quanto bene un modello di regressione si adatta a un set di dati, ovvero indica la percentuale spiegata dal modello di regressione.<\/p>\n<p> Pertanto, maggiore \u00e8 il coefficiente di determinazione, migliore \u00e8 il modello di regressione. Sebbene questa condizione non sia sempre soddisfatta, in linea di principio siamo interessati al coefficiente di determinazione pi\u00f9 grande possibile. Vedremo di seguito come interpretare il coefficiente di determinazione. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Formula del coefficiente determinante<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il coefficiente di determinazione \u00e8 pari a uno meno il rapporto tra la varianza residua e la varianza della variabile dipendente. Il coefficiente di determinazione pu\u00f2 anche essere calcolato sottraendo uno meno la somma dei quadrati dai residui sulla somma totale dei quadrati.<\/p>\n<p> Pertanto, la <strong>formula per calcolare il coefficiente di determinazione<\/strong> \u00e8 la seguente: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"390\" height=\"298\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/coefficient-de-determination-r-carre-formule.png\" alt=\"formula per il coefficiente di determinazione, formula per r quadrato\" class=\"wp-image-6598\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7d6931063ed333ca39b952ccfd482b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il coefficiente di determinazione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25aba4ace37fe21924a7e7013a12f820_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_r^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la varianza residua.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6d52162ef1ec2e8130fb00687aca707_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la varianza della variabile dipendente Y.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d2426a81957d42ba1d03e90ab09e303_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y_{i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della variabile dipendente dall&#8217;osservazione i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d695c8bd6fa2155d85c8699b167f3999_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\widehat{y}_{i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore approssimato dal modello di regressione per l&#8217;osservazione i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5becac4ccb36fec040f449ba9fa52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la media della variabile dipendente tra tutte le osservazioni.<\/li>\n<\/ul>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare il coefficiente di determinazione per qualsiasi set di dati.<\/u><\/p>\n<p> Nel caso del modello di regressione lineare, il coefficiente di determinazione \u00e8 equivalente al quadrato del <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-correlazione-di-pearson-1\/\">coefficiente di correlazione<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6812088c3fb9d2efc5807244046e3d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2=\\cfrac{\\sigma_{XY}^2}{\\sigma_X^2\\sigma_Y^2}=\\rho^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -18px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79f46756b768c4ccda071fed1bcc144a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_{XY}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/covarianza\/\">covarianza<\/a> delle variabili X e Y,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3c8551c63e9116f7df70371c127741a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_X^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03e4ace849d460fee5d2f7879630b3b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_Y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sono le <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/varianza\/\">varianze<\/a> rispettivamente della variabile indipendente X e della variabile dipendente Y. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Calcolatore del coefficiente di determinazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Inserisci un campione di dati nel calcolatore sottostante per adattare un semplice modello di regressione lineare e calcolarne il coefficiente di determinazione. \u00c8 necessario separare le coppie di dati, in modo che nella prima casella ci siano solo i valori della variabile indipendente X e nella seconda casella ci siano solo i valori della variabile dipendente Y.<\/p>\n<p> I dati devono essere separati da uno spazio e inseriti utilizzando il punto come separatore decimale.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Variabile indipendente <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable explicativa aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Variabile dipendente Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable respuesta aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Calcolare\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-del-coeficiente-de-determinacion\"><\/span> Interpretazione del coefficiente di determinazione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In questa sezione vedremo come interpretare il coefficiente di determinazione, perch\u00e9 non ha senso conoscere il valore del coefficiente di determinazione se non si sa poi cosa significa.<\/p>\n<p> Il valore del coefficiente di determinazione pu\u00f2 variare da 0 a 1, tuttavia solitamente \u00e8 espresso in percentuale, quindi il minimo \u00e8 0% e il massimo \u00e8 100%.<\/p>\n<p> Per quanto riguarda l&#8217; <strong>interpretazione del coefficiente di determinazione<\/strong> , maggiore \u00e8 il suo valore significa che il modello di regressione spiega meglio il campione di dati. Pertanto, quanto pi\u00f9 il coefficiente di determinazione si avvicina a 1, tanto pi\u00f9 il modello verr\u00e0 aggiustato. D&#8217;altra parte, quanto pi\u00f9 si avvicina allo 0, tanto meno affidabile sar\u00e0 il modello di regressione prodotto.<\/p>\n<p> Tuttavia, quando si confrontano due modelli di regressione, il modello con un coefficiente di regressione pi\u00f9 elevato non \u00e8 sempre migliore. Ad esempio, un modello di regressione pu\u00f2 avere un coefficiente di regressione R <sup>2<\/sup> = 100% perch\u00e9 al modello sono state aggiunte molte variabili esplicative e, quindi, pu\u00f2 spiegare perfettamente tutte le osservazioni. Ma questo modello fornisce sicuramente una previsione molto inadeguata per un nuovo valore che non \u00e8 stato utilizzato per costruire il modello di regressione.<\/p>\n<p> Va inoltre tenuto presente che il modello di regressione risultante soddisfa le ipotesi precedenti. Pertanto, un modello con un coefficiente di determinazione molto elevato \u00e8 inutile se la variabilit\u00e0 dei suoi residui non \u00e8 costante (omoschedasticit\u00e0).<\/p>\n<p> Inoltre, <strong>il coefficiente di determinazione presenta un limite importante,<\/strong> poich\u00e9 non penalizza l&#8217;inclusione di variabili esplicative. Logicamente, pi\u00f9 variabili esplicative ha un modello di regressione, pi\u00f9 il modello sar\u00e0 complesso, ma meglio spiegher\u00e0 i dati osservati e, quindi, pi\u00f9 alto sar\u00e0 il coefficiente di determinazione. Tuttavia, il coefficiente di determinazione corretto tiene conto del numero di variabili presenti nel modello (vedremo di seguito come viene calcolato).<\/p>\n<p> In conclusione, il coefficiente di determinazione \u00e8 molto utile per analizzare un modello di regressione perch\u00e9 ci consente di sapere quanto bene il modello di regressione si adatta al set di dati. Tuttavia, per rivedere il modello risultante dovrebbero essere utilizzati anche altri strumenti, come <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/grafico-statistico\/\">i grafici statistici<\/a> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"coeficiente-de-determinacion-ajustado\"><\/span> Coefficiente di determinazione rettificato<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il <strong>coefficiente di determinazione corretto<\/strong> , chiamato anche <strong>coefficiente di determinazione corretto<\/strong> , misura la bont\u00e0 di adattamento di un modello di regressione tenendo conto del numero di variabili esplicative incluse nel modello.<\/p>\n<p> La differenza tra il <strong>coefficiente di determinazione e il coefficiente di determinazione corretto<\/strong> \u00e8 che il coefficiente di determinazione misura la qualit\u00e0 dell&#8217;aggiustamento senza tenere conto del numero di variabili, d&#8217;altra parte, il coefficiente di determinazione corretto misura la qualit\u00e0 dell&#8217;aggiustamento penalizzante per ogni variabile aggiunta.<\/p>\n<p> La formula per il calcolo del coefficiente di determinazione corretto \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bab21915405ecf54c525594c50d434cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bar{R}^2=1-\\cfrac{N-1}{N-k-1}\\cdot (1-R^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ae8b56e515d662eca2beb4afd7fb0f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bar{R}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il coefficiente di determinazione corretto.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7d6931063ed333ca39b952ccfd482b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"R^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il coefficiente di determinazione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7354bae77b50b7d1faed3e8ea7a3511a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il numero di variabili esplicative nel modello di regressione.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Pertanto, il coefficiente di determinazione corretto \u00e8 migliore del coefficiente di determinazione per confrontare due modelli diversi, poich\u00e9 i modelli possono avere un numero diverso di variabili esplicative. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-determinazione-corretto-r-quadrato-corretto\/\">Coefficiente di determinazione rettificato<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il coefficiente di determinazione (o R quadrato) in statistica. 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