{"id":310,"date":"2023-08-02T17:33:25","date_gmt":"2023-08-02T17:33:25","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/retta-di-regressione\/"},"modified":"2023-08-02T17:33:25","modified_gmt":"2023-08-02T17:33:25","slug":"retta-di-regressione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/retta-di-regressione\/","title":{"rendered":"Linea di regressione"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la retta di regressione nelle statistiche. Troverai quindi come calcolare la retta di regressione tra due variabili, un esercizio risolto e, inoltre, un calcolatore online per calcolare la retta di regressione per qualsiasi campione di dati. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-recta-de-regresion\"><\/span> Qual \u00e8 la retta di regressione?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In statistica, la <strong>retta di regressione<\/strong> \u00e8 la retta ottenuta da un <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-semplice\/\">modello di regressione lineare semplice<\/a> . Pi\u00f9 precisamente, la retta di regressione \u00e8 la retta che meglio si adatta ad un grafico a dispersione e, quindi, descrive meglio un insieme di dati statistici.<\/p>\n<p> Pertanto, l&#8217;equazione della retta di regressione mette in relazione matematicamente la variabile indipendente X e la variabile dipendente Y di un insieme di dati. Sebbene la retta di regressione generalmente non sia in grado di determinare con precisione il valore di ciascuna osservazione, pu\u00f2 tuttavia fornirne un&#8217;approssimazione. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/ligne-de-regression.png\" alt=\"retta di regressione\" class=\"wp-image-6708\" width=\"235\" height=\"219\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Come puoi vedere nel grafico precedente, la linea di regressione ci aiuta a vedere l&#8217;andamento di un set di dati e che tipo di relazione esiste tra la variabile indipendente e la variabile dipendente. Di seguito esamineremo le applicazioni della retta di regressione.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Formula della retta di regressione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Ora che conosciamo la definizione di retta di regressione, vediamo come calcolare l&#8217;equazione della retta di un modello di regressione lineare.<\/p>\n<p> Come ogni retta, l&#8217;equazione della retta di regressione \u00e8 composta da una costante (b <sub>0<\/sub> ) e da una pendenza (b <sub>1<\/sub> ):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92da05e7be03363fecef8974393a84fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=b_0+b_1x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, le <strong>formule per il calcolo dei coefficienti della retta di regressione lineare<\/strong> sono le seguenti:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dc6f56cacf0a233977c358d6a62fca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}\\\\[12ex]b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"176\" width=\"190\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81208591cba625e2b376233eb1869a4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la costante della retta di regressione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19b7b5affd373068ff85c800b567b901_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la pendenza della retta di regressione.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della variabile indipendente X dei dati i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-761333a1d61654bd1cb5c7224b0d1994_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore della variabile dipendente Y dei dati i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la media dei valori della variabile indipendente<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5becac4ccb36fec040f449ba9fa52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la media dei valori della variabile dipendente Y.<\/li>\n<\/ul>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare la linea di regressione per qualsiasi set di dati.<\/u> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Esempio concreto della retta di regressione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per esplorare ulteriormente il concetto di linea di regressione, di seguito \u00e8 riportato un esempio pratico di come creare una linea di regressione.<\/p>\n<ul>\n<li> Dopo aver sostenuto un esame di statistica, a cinque studenti \u00e8 stato chiesto quante ore di studio avevano dedicato all&#8217;esame, i dati sono riportati nella tabella seguente. Calcolare la retta di regressione dai dati statistici raccolti per mettere in relazione linearmente le ore di studio con il voto ottenuto. Successivamente, determina quale voto otterr\u00e0 uno studente che ha studiato 8 ore. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/donnees-de-regression-lineaire-simple.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-6503\" width=\"213\" height=\"220\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Per trovare la retta di regressione per i dati del campione, dobbiamo determinare i coefficienti b <sub>0<\/sub> e b <sub>1<\/sub> dell&#8217;equazione e, per fare ci\u00f2, dobbiamo utilizzare le formule viste nella sezione precedente.<\/p>\n<p> Tuttavia, per applicare le formule per la retta di regressione lineare, dobbiamo prima calcolare la media della variabile indipendente e la media della variabile dipendente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a7aa6f1f20fa4ff0d61a2ad0dd2ea1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\overline{x}=\\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\\\[4ex]\\overline{y}=\\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"105\" width=\"226\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ora che conosciamo le medie delle variabili, calcoliamo il coefficiente b <sub>1<\/sub> del modello utilizzando la formula corrispondente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9d90c766487cd7b6924e6b23d2d9c78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}\\\\[10ex] b_1=\\cfrac{\\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\\\[6ex]b_1=0,4412\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"264\" width=\"459\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Infine, calcoliamo il coefficiente b <sub>0<\/sub> del modello utilizzando la formula corrispondente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c72e6b89a75681a88cf751ca39079240_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\\\[3ex]b_0=6-0,4412\\cdot 9 \\\\[3ex]b_0=2,0294\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"106\" width=\"144\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In breve, l\u2019equazione della retta di regressione lineare del problema \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7097952b105295743a390d0332e7a2b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=2,0294+0,4412x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Di seguito \u00e8 possibile vedere la rappresentazione grafica dei dati campione nonch\u00e9 la retta del modello di regressione lineare semplice: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-de-regression-lineaire-simple.png\" alt=\"esempio di retta di regressione lineare\" class=\"wp-image-6517\" width=\"454\" height=\"304\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Una volta calcolata la retta di regressione, per prevedere il voto che otterr\u00e0 uno studente che ha studiato 8 ore, \u00e8 sufficiente sostituire questo valore nell&#8217;equazione della retta di regressione ottenuta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1ef36c064448262d7c58b7f51b215c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=2,0294+0,4412\\cdot 8=5,56\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, secondo il modello di regressione lineare effettuato, se uno studente ha studiato per otto ore, otterr\u00e0 all&#8217;esame un punteggio di 5,56. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfpara-que-sirve-una-recta-de-regresion\"><\/span> A cosa serve una retta di regressione?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Principalmente, la retta di regressione ha due usi: la retta di regressione viene utilizzata per determinare quale tipo di relazione esiste tra due variabili e, d&#8217;altro canto, la retta di regressione consente anche di fare una previsione sul valore di una nuova osservazione.<\/p>\n<p> La pendenza della retta di regressione ci dice qual \u00e8 la <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/correlazione\/\">correlazione<\/a> tra la variabile indipendente e la variabile dipendente. Se la pendenza \u00e8 positiva significa che la variabile dipendente \u00e8 direttamente proporzionale alla variabile indipendente, mentre se la pendenza \u00e8 negativa implica che le variabili sono inversamente proporzionali. Infine, se il coefficiente di pendenza \u00e8 molto vicino allo zero, ci\u00f2 significa che la correlazione tra le due variabili \u00e8 molto debole.<\/p>\n<p> Inoltre, se l&#8217;equazione della retta di regressione \u00e8 nota, il valore della variabile dipendente pu\u00f2 essere previsto per un nuovo valore della variabile indipendente, come abbiamo fatto nell&#8217;esempio precedente. Pertanto, quanto migliore \u00e8 l\u2019adattamento della retta di regressione, tanto migliori saranno le previsioni che far\u00e0. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-recta-de-regresion\"><\/span> Calcolatore della linea di regressione<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Inserisci un campione di dati nella seguente calcolatrice per calcolare la linea di regressione tra le due variabili. \u00c8 necessario separare le coppie di dati, in modo che nella prima casella ci siano solo i valori della variabile indipendente X e nella seconda casella ci siano solo i valori della variabile dipendente Y.<\/p>\n<p> I dati devono essere separati da uno spazio e inseriti utilizzando il punto come separatore decimale.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Variabile indipendente <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable explicativa aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Variabile dipendente Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la variable respuesta aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Calcolare\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la retta di regressione nelle statistiche. 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