{"id":313,"date":"2023-08-02T16:21:11","date_gmt":"2023-08-02T16:21:11","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-multipla-1\/"},"modified":"2023-08-02T16:21:11","modified_gmt":"2023-08-02T16:21:11","slug":"regressione-lineare-multipla-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-multipla-1\/","title":{"rendered":"Regressione lineare multipla"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la regressione lineare multipla nelle statistiche. Inoltre, imparerai come creare un modello di regressione lineare multipla e come viene interpretato. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 la regressione lineare multipla?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>La regressione lineare multipla<\/strong> \u00e8 un modello di regressione in cui sono incluse due o pi\u00f9 variabili indipendenti. In altre parole, la regressione lineare multipla \u00e8 un modello statistico che consente di collegare linearmente diverse variabili esplicative a una variabile di risposta.<\/p>\n<p> Pertanto, viene utilizzato un modello di regressione lineare multipla per trovare un&#8217;equazione che mette in relazione due o pi\u00f9 variabili indipendenti con una variabile dipendente. Pertanto, sostituendo il valore di ciascuna variabile indipendente, si ottiene un&#8217;approssimazione del valore della variabile dipendente.<\/p>\n<p> Ad esempio, l&#8217;equazione y=3+6x <sub>1<\/sub> -4x <sub>2<\/sub> +7x <sub>3<\/sub> \u00e8 un modello di regressione lineare multipla perch\u00e9 mette in relazione matematicamente tre variabili indipendenti (x <sub>1<\/sub> , x <sub>2<\/sub> , x <sub>3<\/sub> ) con un percorso del valore lineare della variabile dipendente (y) . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Formula di regressione lineare multipla<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> L&#8217;equazione per un modello di regressione lineare multipla \u00e8 y=\u03b2 <sub>0<\/sub> +\u03b2 <sub>1<\/sub> x <sub>1<\/sub> +\u03b2 <sub>2<\/sub> x <sub>2<\/sub> +\u2026+\u03b2 <sub>m<\/sub> x <sub>m<\/sub> +\u03b5.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3ba8386b5954b654ca555774108ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1 x_1+\\beta_2 x_2+\\dots+\\beta_m x_m+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38461fc041e953482219abf5d4cce1cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la variabile dipendente.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la variabile indipendente i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5ba513cc7e504bc674f76afa70a3442_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la costante dell&#8217;equazione di regressione lineare multipla.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff540c55c6ee8f10a1dab8e2422947ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il coefficiente di regressione associato alla variabile<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29b8f7fac5f2df4b101dff63e95516c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\varepsilon}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Questo \u00e8 l&#8217;errore o residuo, cio\u00e8 la differenza tra il valore osservato e il valore stimato dal modello.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdc40b8ad1cdad0aab9d632215459d28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il numero totale di variabili nel modello.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Quindi, se abbiamo un campione con un totale di<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> osservazioni, possiamo proporre il modello di regressione lineare multipla in forma matriciale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5848686c8ed0857f16e7e24e2a31024e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}y_1\\\\y_2\\\\\\vdots\\\\y_n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}1&amp;x_{11}&amp;\\dots&amp;x_{1m}\\\\1&amp;x_{21}&amp;\\dots&amp;x_{2m}\\\\ \\vdots&amp;\\vdots&amp;\\ddots&amp;\\vdots\\\\1&amp;x_{n1}&amp;\\dots&amp;x_{nm}\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}\\beta_0\\\\\\beta_1\\\\\\vdots\\\\\\beta_m\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\\varepsilon_1\\\\\\varepsilon_2\\\\\\vdots\\\\\\varepsilon_n\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"96\" width=\"370\" style=\"vertical-align: -43px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> L&#8217;espressione dell&#8217;array sopra pu\u00f2 essere riscritta assegnando una lettera a ciascun array:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7614ddbb78ced2e2b8b6c7642d9969c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Y=X\\beta+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, applicando il criterio dei minimi quadrati, \u00e8 possibile arrivare alla <strong>formula per la stima dei coefficienti di un modello di regressione lineare multipla<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ef097cee722e7355fa4eb77b7ea3e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\widehat{\\beta}=\\left(X^tX\\right)^{-1}X^tY\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tuttavia, l&#8217;applicazione di questa formula \u00e8 molto laboriosa e richiede molto tempo, quindi in pratica \u00e8 consigliabile utilizzare un software per computer (come Minitab o Excel) che consente di eseguire un modello di regressione multipla molto pi\u00f9 rapidamente. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"supuestos-de-la-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Ipotesi di regressione lineare multipla<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In un modello di regressione lineare multipla, affinch\u00e9 il modello sia valido devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Indipendenza<\/strong> : i residui devono essere indipendenti l&#8217;uno dall&#8217;altro. Un modo comune per garantire l&#8217;indipendenza del modello \u00e8 aggiungere casualit\u00e0 al processo di campionamento.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Omoschedasticit\u00e0<\/strong> : deve esserci omogeneit\u00e0 nelle varianze dei residui, cio\u00e8 la variabilit\u00e0 dei residui deve essere costante.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Non multicollinearit\u00e0<\/strong> : le variabili esplicative incluse nel modello non possono essere collegate tra loro o, almeno, la loro relazione deve essere molto debole.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Normalit\u00e0<\/strong> : i residui devono essere distribuiti normalmente, o in altre parole devono seguire una distribuzione normale con media 0.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Linearit\u00e0<\/strong> : si presuppone che la relazione tra la variabile di risposta e le variabili esplicative sia lineare.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-de-un-modelo-de-regresion-lineal-multiple\"><\/span> Interpretazione di un modello di regressione lineare multipla<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Per interpretare un modello di regressione lineare multipla,<\/strong> dobbiamo guardare il coefficiente di determinazione (R quadrato), che esprime la percentuale spiegata dal modello di regressione. Pertanto, quanto pi\u00f9 alto \u00e8 il coefficiente di determinazione, tanto pi\u00f9 il modello sar\u00e0 adattato al campione di dati studiato. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-determinazione-r-al-quadrato\/\">Coefficiente di determinazione (R quadrato)<\/a><\/div>\n<p> Tuttavia, la bont\u00e0 di adattamento di un modello statistico pu\u00f2 essere fuorviante, in particolare nei modelli di regressione lineare multipla. Perch\u00e9 quando si aggiunge una variabile al modello, il coefficiente di determinazione aumenta, anche se la variabile non \u00e8 significativa. \u00c8 necessario per\u00f2 massimizzare il coefficiente di determinazione cercando di minimizzare il numero di variabili, poich\u00e9 il modello risulta meno complicato e pi\u00f9 semplice da interpretare.<\/p>\n<p> Per risolvere questo problema \u00e8 necessario calcolare il coefficiente di determinazione aggiustato (R quadrato aggiustato), che \u00e8 un coefficiente statistico che misura la qualit\u00e0 di adattamento di un modello di regressione, penalizzando per ogni variabile aggiunta al modello, a differenza del coefficiente non aggiustato di determinazione. questo non tiene conto del numero di variabili nel modello.<\/p>\n<p> Pertanto, il coefficiente di determinazione corretto ci consente di confrontare la bont\u00e0 di adattamento di due modelli con un diverso numero di variabili. In linea di principio si dovrebbe scegliere il modello che ha un coefficiente di determinazione aggiustato pi\u00f9 alto, ma se i due modelli hanno valori molto simili \u00e8 meglio selezionare il modello con meno variabili perch\u00e9 pi\u00f9 semplice da interpretare. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-determinazione-corretto-r-quadrato-corretto\/\">Coefficiente di determinazione corretto (R quadrato corretto)<\/a><\/div>\n<p> Al contrario, i coefficienti di regressione indicano la relazione tra la variabile esplicativa e la variabile di risposta. Se il coefficiente di regressione \u00e8 positivo, la variabile di risposta aumenter\u00e0 all\u2019aumentare della variabile esplicativa. mentre se il coefficiente di regressione \u00e8 negativo, la variabile di risposta diminuir\u00e0 all&#8217;aumentare della variabile esplicativa.<\/p>\n<p> Logicamente, affinch\u00e9 la condizione precedente sia soddisfatta, le altre variabili devono rimanere costanti. Per questo motivo \u00e8 importante che non vi sia multicollinearit\u00e0 tra le diverse variabili esplicative del modello. Puoi vedere come viene studiata la multicollinearit\u00e0 di un modello cercando l&#8217;articolo corrispondente sul nostro sito. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regresion-lineal-multiple-y-simple\"><\/span> Regressione lineare multipla e semplice<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Infine, vedremo quali sono le differenze tra un modello di regressione lineare semplice e un modello di regressione lineare multipla, poich\u00e9 sono due modelli di regressione ampiamente utilizzati in statistica.<\/p>\n<p> <strong>La regressione lineare semplice<\/strong> \u00e8 un modello di regressione utilizzato per mettere in relazione una variabile indipendente. Quindi l\u2019equazione di un modello di regressione lineare semplice \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84736ca4dce84a29289dfa6da60d0242_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1x_1+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la <strong>differenza tra regressione lineare multipla e regressione lineare semplice<\/strong> risiede nel numero di variabili esplicative. Un modello di regressione lineare multipla ha due o pi\u00f9 variabili esplicative, mentre un modello di regressione lineare semplice ha solo una variabile esplicativa.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3ba8386b5954b654ca555774108ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1 x_1+\\beta_2 x_2+\\dots+\\beta_m x_m+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In conclusione, la regressione lineare multipla \u00e8 un&#8217;estensione della regressione lineare semplice, poich\u00e9 vengono semplicemente aggiunte pi\u00f9 variabili esplicative e i rispettivi coefficienti di regressione. Tuttavia, i coefficienti di regressione vengono calcolati in modo diverso, per vedere come avviene clicca qui: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-semplice\/\">Regressione lineare semplice<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la regressione lineare multipla nelle statistiche. Inoltre, imparerai come creare un modello di regressione lineare multipla e come viene interpretato. Cos&#8217;\u00e8 la regressione lineare multipla? La regressione lineare multipla \u00e8 un modello di regressione in cui sono incluse due o pi\u00f9 variabili indipendenti. 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