{"id":3134,"date":"2023-07-19T01:29:22","date_gmt":"2023-07-19T01:29:22","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/somma-dei-quadrati-anova\/"},"modified":"2023-07-19T01:29:22","modified_gmt":"2023-07-19T01:29:22","slug":"somma-dei-quadrati-anova","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/somma-dei-quadrati-anova\/","title":{"rendered":"Come calcolare la somma dei quadrati in anova (con esempio)"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">In statistica, <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/anova-in-un-modo\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">un&#8217;ANOVA unidirezionale<\/a> viene utilizzata per confrontare le medie di tre o pi\u00f9 gruppi indipendenti per determinare se esiste una differenza statisticamente significativa tra le medie della popolazione corrispondente.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ogni volta che esegui un&#8217;ANOVA unidirezionale, calcolerai sempre tre valori di somma dei quadrati:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Regressione della somma dei quadrati (SSR)<\/strong><\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 la somma dei quadrati delle differenze tra la media di ciascun gruppo e la <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/anova-media-grande\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">media generale<\/a> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Errore della somma dei quadrati (SSE)<\/strong><\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Questa \u00e8 la somma dei quadrati delle differenze tra ogni singola osservazione e la media del gruppo di tale osservazione.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Somma dei quadrati totali (SST)<\/strong><\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Questa \u00e8 la somma dei quadrati delle differenze tra ogni singola osservazione e la media complessiva.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ciascuno di questi tre valori viene inserito nella tabella ANOVA finale, che utilizziamo per determinare se esiste o meno una differenza statisticamente significativa tra le medie del gruppo.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">L&#8217;esempio seguente mostra come calcolare nella pratica ciascuno di questi valori di somma dei quadrati per un&#8217;ANOVA unidirezionale.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">Esempio: come calcolare la somma dei quadrati in ANOVA<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo di voler sapere se tre diversi programmi di preparazione al test portano o meno a punteggi medi diversi in un dato esame. Per testarlo, reclutiamo 30 studenti per partecipare a uno studio e li dividiamo in tre gruppi.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gli studenti di ciascun gruppo vengono assegnati in modo casuale a utilizzare uno dei tre programmi di preparazione al test per le tre settimane successive per prepararsi a un esame. Alla fine delle tre settimane, tutti gli studenti sostengono lo stesso esame.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Di seguito sono riportati i risultati degli esami per ciascun gruppo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8258 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/aller-simple2.png\" sizes=\"\" srcset=\"\" alt=\"Esempio di dati ANOVA unidirezionali\" width=\"237\" height=\"246\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">I passaggi seguenti mostrano come calcolare la somma dei valori dei quadrati per questa ANOVA unidirezionale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 1: calcolare la media del gruppo e la media complessiva.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per prima cosa calcoleremo la media dei tre gruppi nonch\u00e9 la media complessiva (o \u201ccomplessiva\u201d):<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8434 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/anovamain1-1.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"257\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 2: calcolare l&#8217;SSR.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Successivamente, calcoleremo la regressione della somma dei quadrati (SSR) utilizzando la seguente formula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">n\u03a3(X <sub>j<\/sub> \u2013 <span style=\"text-decoration: overline;\">X<\/span> ..) <sup>2<\/sup><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n<\/strong> : la dimensione del campione del gruppo j<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03a3<\/strong> : simbolo greco che significa \u201csomma\u201d<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>X <sub>j<\/sub><\/strong> : la media del gruppo j<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">X<\/span> ..<\/strong> : la media complessiva<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nel nostro esempio, calcoliamo che SSR = 10(83,4-85,8) <sup>2<\/sup> + 10(89,3-85,8) <sup>2<\/sup> + 10(84,7-85,8) <sup>2<\/sup> = <strong>192,2<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 3: calcolare il SES.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Successivamente, calcoleremo l&#8217;errore della somma dei quadrati (SSE) utilizzando la seguente formula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u03a3(X <sub>ij<\/sub> \u2013 <span style=\"text-decoration: overline;\">X<\/span> <sub>j<\/sub> ) <sup>2<\/sup><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03a3<\/strong> : simbolo greco che significa \u201csomma\u201d<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>X <sub>ij<\/sub><\/strong> : l&#8217; <sup>iesima<\/sup> osservazione del gruppo j<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">X<\/span> <sub>j<\/sub><\/strong> : la media del gruppo j<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nel nostro esempio, calcoliamo l&#8217;SSE come segue:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Gruppo 1:<\/strong> (85-83,4) <sup>2<\/sup> + (86-83,4) <sup>2<\/sup> + <strong>&nbsp;<\/strong> (88-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (75-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (78-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (94-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (98-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (79-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (71-83,4) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (80-83,4) <sup>2<\/sup> = <strong>640,4<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Gruppo 2:<\/strong> (91-89,3) <sup>2<\/sup> + (92-89,3) <sup>2<\/sup> + <strong>&nbsp;<\/strong> (93-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (85-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (87-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (84-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (82-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (88-89.3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (95-89,3) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (96-89,3) <sup>2<\/sup> = <strong>208,1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Gruppo 3:<\/strong> (79-84,7) <sup>2<\/sup> + (78-84,7) <sup>2<\/sup> + <strong>&nbsp;<\/strong> (88-84.7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (94-84,7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (92-84,7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (85-84,7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (83-84,7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (85-84,7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (82-84.7) <sup>2+<\/sup> <strong>&nbsp;<\/strong> (81-84,7) <sup>2<\/sup> = <strong>252,1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>ESS:<\/strong> 640,4 + 208,1 + 252,1 = <strong>1.100,6<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 4: calcolare l&#8217;SST.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Successivamente, calcoleremo la somma totale dei quadrati (SST) utilizzando la seguente formula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">SST = SSR + SSE<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nel nostro esempio SST = 192,2 + 1100,6 = <strong>1292,8<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una volta calcolati i valori di SSR, SSE e SST, ognuno di questi valori verr\u00e0 finalmente inserito nella tabella ANOVA:<\/span><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Fonte<\/strong><\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Somma dei quadrati (SS)<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">df<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Quadrati medi (MS)<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Valore F<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">valore p<\/span><\/strong><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Regressione<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">192.2<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">2<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">96.1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">2.358<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">0,1138<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Errore<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">1100.6<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">27<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">40.8<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Totale<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">1292.8<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">29<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ecco come abbiamo calcolato i diversi numeri nella tabella:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>regressione df:<\/strong> k-1 = 3-1 = 2<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>errore df:<\/strong> nk = 30-3 = 27<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>df totale:<\/strong> n-1 = 30-1 = 29<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Trattamento SEP:<\/strong> trattamento SST\/df = 192,2 \/ 2 = 96,1<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Errore MS:<\/strong> errore SSE \/ df = 1100,6 \/ 27 = 40,8<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Valore F:<\/strong> elaborazione MS \/ errore MS = 96,1 \/ 40,8 = 2,358<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>valore p<\/strong> : valore p che corrisponde al valore F.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Nota:<\/strong> n = numero totale di osservazioni, k = numero di gruppi<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dai un&#8217;occhiata a <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/anova-valore-f-valore-p\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">questo tutorial<\/a> per imparare come interpretare il valore F e il valore p nella tabella ANOVA.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In statistica, un&#8217;ANOVA unidirezionale viene utilizzata per confrontare le medie di tre o pi\u00f9 gruppi indipendenti per determinare se esiste una differenza statisticamente significativa tra le medie della popolazione corrispondente. 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