{"id":321,"date":"2023-08-02T13:08:08","date_gmt":"2023-08-02T13:08:08","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/test-del-chi-quadrato-2\/"},"modified":"2023-08-02T13:08:08","modified_gmt":"2023-08-02T13:08:08","slug":"test-del-chi-quadrato-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/test-del-chi-quadrato-2\/","title":{"rendered":"Test del chi quadrato"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il test chi quadrato in statistica e a cosa serve. Scoprirai anche come eseguire un test chi quadrato e, inoltre, un esercizio risolto passo dopo passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 il test del chi quadrato?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il <strong>test Chi-quadrato<\/strong> \u00e8 un test statistico utilizzato per determinare se esiste una differenza statisticamente significativa tra la frequenza prevista e la frequenza osservata.<\/p>\n<p> Logicamente, la statistica del test chi-quadrato segue una <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-chi-quadrato\/\">distribuzione chi-quadrato<\/a> . Il valore della statistica test deve quindi essere confrontato con un particolare valore della distribuzione chi-quadrato. Di seguito vedremo come si esegue il test del chi quadrato.<\/p>\n<p> Questo tipo di test statistico \u00e8 noto anche come <strong>test chi quadrato di Pearson<\/strong> ed \u00e8 talvolta rappresentato dal simbolo della distribuzione chi quadrato: <strong>test \u03c7\u00b2<\/strong> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Formula del test chi quadrato<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La statistica del test chi quadrato \u00e8 pari alla somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati e i valori attesi divisa per i valori attesi.<\/p>\n<p> Quindi, la <strong>formula per il test del chi quadrato<\/strong> \u00e8:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca52fc2f501a2bff49c05e6c321e242e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-984dc78529fc235b078a9f3b62d0f0c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la statistica del test chi-quadrato, che segue una distribuzione chi-quadrato con<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dfca2445cd362ac42fb9032c9cf2367_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> gradi di libert\u00e0.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la dimensione del campione di dati.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-434bc05ea7818e67065a4f690de03718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"O_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore osservato per i dati i.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e6cfc87bb6b00130570c8c9f348b98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 il valore atteso per i dati i.<\/li>\n<\/ul>\n<p> L&#8217;ipotesi nulla del test di ipotesi di un test chi-quadrato \u00e8 che i valori osservati siano equivalenti ai valori attesi. L\u2019ipotesi alternativa del test, invece, \u00e8 che uno dei valori osservati sia diverso dal suo valore atteso.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ef850ed6bba6d33fed54194e3e675e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}H_0:O_i=E_i \\quad \\forall i\\\\[2ex]H_1:\\exists \\ O_i\\neq E_i \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Quindi, dato un livello di significativit\u00e0<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f44d9bbc8046069be4aa2989bff19aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , la statistica del test calcolata dovrebbe essere confrontata con il valore critico del test per determinare se rifiutare l&#8217;ipotesi nulla o l&#8217;ipotesi alternativa:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Se la statistica del test \u00e8 inferiore al valore critico\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , si rifiuta l\u2019ipotesi alternativa (e si accetta l\u2019ipotesi nulla).<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Se la statistica del test \u00e8 maggiore del valore critico\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , si rifiuta l\u2019ipotesi nulla (e si accetta l\u2019ipotesi alternativa). <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b48f7bb620dca865b7e652e81cc247a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\text{Si } \\chi^2<\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_1\\\\[3ex]\\text{Si } \\chi^2>\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_0\\end{array}&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;70&#8243; width=&#8221;243&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Esempio del test del chi quadrato<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dopo aver visto la definizione di test chi quadrato e qual \u00e8 la sua formula, di seguito viene presentato un esempio risolto passo dopo passo in modo che tu possa vedere come viene eseguito questo tipo di test statistico.<\/p>\n<ul>\n<li> Il proprietario di un negozio afferma che il 50% delle sue vendite riguarda il prodotto A, il 35% delle sue vendite riguarda il prodotto B e il 15% delle sue vendite riguarda il prodotto C. Tuttavia, le unit\u00e0 vendute di ciascun prodotto sono quelle presentate nella seguente <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/tabella-di-contingenza\/\">tabella di contingenza<\/a> . Analizzare se i dati teorici del Titolare sono statisticamente differenti dai dati effettivi raccolti.<\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Prodotto<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Vendite osservate (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Prodotto A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Prodotto B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Prodotto C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Totale<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Per prima cosa dobbiamo calcolare i valori attesi dal proprietario del negozio. Per fare ci\u00f2, moltiplichiamo la percentuale di vendite previste di ciascun prodotto per il numero di vendite totali ottenute:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfd0d5e1cc7a049ddd825c5db9eb4bec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}E_A=800\\cdot 0,5=400\\\\[2ex]E_B=800\\cdot 0,35=280\\\\[2ex]E_A=800\\cdot 0,15=120\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"173\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-di-frequenza\/\">tabella di distribuzione della frequenza<\/a> del problema \u00e8 la seguente:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Prodotto<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Vendite osservate (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Vendite previste (E <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Prodotto A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 400<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Prodotto B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 280<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Prodotto C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 120<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Totale<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Ora che abbiamo calcolato tutti i valori, applichiamo la formula del test chi quadrato per calcolare la statistica del test:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c76621fbe8504217dfe8ac55b2d6e67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\\\[6ex]\\chi^2=\\cfrac{(453-400)^2}{400}+\\cfrac{(268-280)^2}{280}+\\cfrac{(79-120)^2}{120}\\\\[6ex]\\chi^2=7,02+0,51+14,00\\\\[6ex]\\chi^2=21,53\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"252\" width=\"372\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Una volta calcolato il valore della statistica del test, utilizziamo la tabella di distribuzione chi-quadrato per trovare il valore critico del test. La distribuzione chi-quadrato ha<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ae885b62b57867e96527f583044991_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1=3-1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> gradi di libert\u00e0, quindi se scegliamo un livello di significativit\u00e0<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76d20f2945704d6640a4b9986b8b7c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha=0,05\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> il valore critico del test \u00e8 il seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1850e764fc71b1e7b49b0c4d8133ab89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}=\\ \\color{orange}\\bm{?}\\color{black}\\\\[4ex]\\chi^2_{0,95|2}=5,991\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"78\" width=\"199\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pertanto, la statistica del test (21,53) \u00e8 maggiore del valore del test critico (5,991), pertanto l&#8217;ipotesi nulla viene rifiutata e l&#8217;ipotesi alternativa viene accettata. Ci\u00f2 significa che i dati sono molto diversi e quindi il titolare del negozio si aspettava vendite diverse da quelle effettivamente realizzate. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90430933949106828df9b184b6215225_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"21,53>5,991 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Se rechaza } H_0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;17&#8243; width=&#8221;354&#8243; style=&#8221;vertical-align: -4px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Interpretazione del test del chi quadrato<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> L&#8217; <strong>interpretazione del test Chi quadrato<\/strong> non pu\u00f2 essere fatta esclusivamente con il risultato del test ottenuto, ma deve essere confrontato con il valore critico del test.<\/p>\n<p> Logicamente, minore \u00e8 il valore della statistica test calcolata, pi\u00f9 i dati osservati sono simili a quelli attesi. Quindi, se il risultato del test chi quadrato \u00e8 0, ci\u00f2 implica che i valori osservati e quelli attesi sono esattamente gli stessi. D&#8217;altra parte, maggiore \u00e8 il risultato del test, ci\u00f2 significa che pi\u00f9 i valori osservati si discostano da quelli attesi.<\/p>\n<p> Tuttavia, per decidere se i due set di dati sono statisticamente diversi o uguali, \u00e8 necessario confrontare il valore del test calcolato con il valore del test critico, in modo da rifiutare l&#8217;ipotesi nulla o l&#8217;ipotesi alternativa del contrasto. Se la statistica del test \u00e8 inferiore al valore critico della distribuzione, l\u2019ipotesi alternativa viene rifiutata. Se invece la statistica test \u00e8 maggiore del valore critico della distribuzione, l\u2019ipotesi nulla viene rifiutata.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il test chi quadrato in statistica e a cosa serve. 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