{"id":379,"date":"2023-08-01T11:32:01","date_gmt":"2023-08-01T11:32:01","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/teorema-della-probabilita-totale\/"},"modified":"2023-08-01T11:32:01","modified_gmt":"2023-08-01T11:32:01","slug":"teorema-della-probabilita-totale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/teorema-della-probabilita-totale\/","title":{"rendered":"Teorema della probabilit\u00e0 totale"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il teorema della probabilit\u00e0 totale e a cosa serve in probabilit\u00e0 e statistica. Troverai quindi la formula del teorema della probabilit\u00e0 totale, gli esercizi risolti e quando si usa il teorema della probabilit\u00e0 totale. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Qual \u00e8 il teorema della probabilit\u00e0 totale?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nella teoria della probabilit\u00e0, il <strong>teorema della probabilit\u00e0 totale<\/strong> \u00e8 una legge che permette di calcolare la probabilit\u00e0 di un evento che non fa parte di uno spazio campionario dalle <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/probabilita-condizionale-condizionale\/\">probabilit\u00e0 condizionate<\/a> di tutti gli eventi in detto spazio campionario.<\/p>\n<p> Pertanto, il teorema della probabilit\u00e0 totale viene utilizzato per calcolare la probabilit\u00e0 di un evento specifico sulla base di informazioni parziali su quell&#8217;evento. A volte non possiamo determinare la probabilit\u00e0 di un evento applicando direttamente la regola di Laplace perch\u00e9 non disponiamo di tutte le informazioni necessarie. Ma se conosciamo i dati su questo evento rispetto ad altri eventi, il teorema della probabilit\u00e0 totale \u00e8 solitamente utile.<\/p>\n<p> In breve, il teorema della probabilit\u00e0 totale viene utilizzato quando vogliamo calcolare la probabilit\u00e0 di un evento ma disponiamo di informazioni al riguardo solo in determinate condizioni. Ad esempio, alcune applicazioni di questo teorema implicano esperimenti con casi multipli, teoria delle code e analisi di sopravvivenza. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regola-di-laplace-o-legge-di-laplace\/\">regola di Laplace<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Formula per il teorema della probabilit\u00e0 totale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il teorema della probabilit\u00e0 totale dice che dato un insieme di eventi {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>n<\/sub> } che formano una partizione sullo spazio campionario, la probabilit\u00e0 dell&#8217;evento B \u00e8 pari alla somma dei prodotti della probabilit\u00e0 di ciascuno evento P(A <sub>i<\/sub> ) dalla probabilit\u00e0 condizionata P(B|A <sub>i<\/sub> ).<\/p>\n<p> Pertanto, la <strong>formula per il teorema della probabilit\u00e0 totale<\/strong> \u00e8: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png\" alt=\"formula per il teorema della probabilit\u00e0 totale\" class=\"wp-image-8595\" width=\"291\" height=\"320\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Oro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la probabilit\u00e0 che si verifichi l&#8217;evento B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la probabilit\u00e0 condizionata dell&#8217;evento B dato l&#8217;evento A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 la probabilit\u00e0 che si verifichi l&#8217;evento A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<\/ul>\n<p> Tieni presente che, in probabilit\u00e0, una partizione dello spazio campionario \u00e8 definita come un insieme di eventi reciprocamente incompatibili la cui unione forma lo spazio campionario. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/spazio-campionario-1\/\">Spazio campionario<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Esempio concreto del teorema della probabilit\u00e0 totale<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dopo aver visto la definizione del teorema della probabilit\u00e0 totale e qual \u00e8 la sua formula, vedremo un esercizio risolto su come si calcola una probabilit\u00e0 con il teorema della probabilit\u00e0 totale per comprenderne meglio il significato.<\/p>\n<ul>\n<li> Un negozio di elettronica vende tre marche di televisori: X, Y, Z. Si stima che il 20% delle vendite siano televisori di marca, il 4% di televisori di marca difettosi e il 4% di televisori di marca Z. i televisori sono difettosi. Quante probabilit\u00e0 ci sono di acquistare una TV difettosa?<\/li>\n<\/ul>\n<p> L&#8217;affermazione del problema ci fornisce le probabilit\u00e0 che un cliente acquister\u00e0 ciascuna marca di TV:<\/p>\n<ul>\n<li> Evento A <sub>1<\/sub> : Un cliente acquista <sub>una<\/sub> marca di televisore<\/li>\n<li> Evento A <sub>2<\/sub> : Un cliente acquista un televisore della marca Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Evento A <sub>3<\/sub> : Un cliente acquista un marchio televisivo Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Inoltre, la dichiarazione di esercizio ci fornisce anche la probabilit\u00e0 che un televisore di ciascuna marca sia difettoso:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Evento B: La TV \u00e8 difettosa<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Dato un televisore di marca X, il televisore \u00e8 difettoso \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Data una marca di televisore Y, il televisore \u00e8 difettoso \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Dato un televisore di marca Z, il televisore \u00e8 difettoso \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Pertanto, l\u2019 <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/diagramma-ad-albero\/\">albero delle probabilit\u00e0<\/a> del problema \u00e8 il seguente: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Quindi, per calcolare la probabilit\u00e0 di acquistare un televisore difettoso, dobbiamo utilizzare la formula per la regola della probabilit\u00e0 totale:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bd2e4c30e05d7abab89dabb7b85cd6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=\\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\\cdot P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nel nostro caso, lo spazio campionario \u00e8 composto da tre eventi (A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> e A <sub>3<\/sub> ), quindi la formula per il teorema della probabilit\u00e0 totale \u00e8 la seguente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe9d6f5c6241bf124144269ba498188_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c8 quindi sufficiente sostituire le probabilit\u00e0 dell&#8217;espressione precedente per trovare la probabilit\u00e0 di acquistare un televisore difettoso:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78411084ca76e5e0de6a2b1794e61b28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(B)&amp;=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\\\\[2ex]&amp;=0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30\\\\[2ex]&amp;=0,037\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"496\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In conclusione, c&#8217;\u00e8 il 3,7% di probabilit\u00e0 che acquistiamo un televisore e che sia difettoso. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"teorema-de-la-probabilidad-total-y-teorema-de-bayes\"><\/span> Teorema della probabilit\u00e0 totale e teorema di Bayes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Il teorema della probabilit\u00e0 totale e il teorema di Bayes sono due teoremi importanti nella teoria della probabilit\u00e0, in particolare perch\u00e9 ci consentono di calcolare le probabilit\u00e0 dai valori di probabilit\u00e0 condizionale.<\/p>\n<p> Il teorema di Bayes \u00e8 una legge della teoria della probabilit\u00e0 che viene utilizzata per calcolare la probabilit\u00e0 di un evento quando si conoscono informazioni a priori su quell&#8217;evento.<\/p>\n<p> Nello specifico, <strong>il teorema della probabilit\u00e0 totale e il teorema di Bayes<\/strong> sono correlati, infatti, il denominatore della formula del teorema di Bayes \u00e8 equivalente alla formula del teorema della probabilit\u00e0 totale.<\/p>\n<p> Fare clic sul seguente collegamento per vedere cos&#8217;\u00e8 il teorema di Bayes ed esempi della sua applicazione: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/teorema-di-bayes\/\">Teorema di Bayes<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 il teorema della probabilit\u00e0 totale e a cosa serve in probabilit\u00e0 e statistica. 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