Se prendiamo un semplice campione casuale<\/a> di 50 delfini da questa popolazione, potremmo scoprire che il peso medio dei delfini in questo campione \u00e8 di 305 libbre.<\/span><\/p>\n Quindi, se prendiamo un altro semplice campione casuale di 50 delfini, potremmo scoprire che il peso medio dei delfini in questo campione \u00e8 di 295 libbre.<\/span><\/p>\n Ogni volta che prendiamo un semplice campione casuale di 50 delfini, \u00e8 probabile che il peso medio dei delfini nel campione sia vicino alla media della popolazione di 300 libbre, ma non esattamente 300 libbre.<\/span><\/p>\n Immaginiamo di prendere 200 semplici campioni casuali di 50 delfini da questa popolazione e di creare un istogramma del peso medio di ciascun campione:<\/span> <\/p>\n Nella maggior parte dei campioni, il peso medio sar\u00e0 vicino a 300 libbre. In rari casi, potremmo prelevare un campione pieno di piccoli delfini il cui peso medio \u00e8 di soli 250 libbre. Oppure potremmo prendere un campione pieno di delfini tursiopi che pesano in media 350 libbre. In generale, la distribuzione<\/em> delle medie campionarie sar\u00e0 approssimativamente normale, con il centro della distribuzione situato nel vero centro della popolazione.<\/span><\/p>\n Questa distribuzione delle medie campionarie \u00e8 nota come distribuzione campionaria della media<\/strong> e ha le seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n \u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n dove \u03bcx<\/span><\/sub> \u00e8 la media campionaria e \u03bc \u00e8 la media della popolazione.<\/span><\/p>\n \u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n dove \u03c3 x<\/span><\/sub> \u00e8 la deviazione standard del campione, \u03c3 \u00e8 la deviazione standard della popolazione e n \u00e8 la dimensione del campione.<\/span><\/p>\n Ad esempio, in questa popolazione di delfini, sappiamo che il peso medio \u00e8 \u03bc = 300. Quindi la media della distribuzione campionaria \u00e8 \u03bc x<\/span><\/sub><\/strong> = 300<\/strong> .<\/span><\/p>\n Supponiamo di sapere anche che la deviazione standard della popolazione \u00e8 di 18 libbre. La deviazione standard del campione \u00e8 quindi \u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 18\/ \u221a50 = 2.546<\/strong> .<\/span><\/p>\n Considera la stessa popolazione di 10.000 delfini. Supponiamo che il 10% dei delfini sia nero e il resto sia grigio. Supponiamo di prendere un semplice campione casuale<\/a> di 50 delfini e di scoprire che il 14% dei delfini in quel campione sono neri. Successivamente, prendiamo un altro semplice campione casuale di 50 delfini e scopriamo che l’8% dei delfini in questo campione sono neri.<\/span><\/p>\n Immaginiamo di prendere 200 campioni casuali semplici di 50 delfini da questa popolazione e di creare un istogramma della proporzione di delfini neri in ciascun campione:<\/span> <\/p>\n Nella maggior parte dei campioni la percentuale di delfini neri sar\u00e0 vicina alla popolazione effettiva del 10%. La distribuzione<\/em> della proporzione del campione di delfini neri sar\u00e0 approssimativamente normale, con il centro della distribuzione situato nel vero centro della popolazione.<\/span><\/p>\n Questa distribuzione delle proporzioni campionarie \u00e8 nota come distribuzione campionaria delle proporzioni<\/strong> e ha le seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n dove p<\/em> \u00e8 la proporzione campionaria e P<\/em> \u00e8 la proporzione della popolazione.<\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n dove P \u00e8 la proporzione della popolazione e n \u00e8 la dimensione del campione.<\/span><\/p>\n Ad esempio, in questa popolazione di delfini sappiamo che la percentuale reale di delfini neri \u00e8 del 10% = 0,1. Pertanto, la media della distribuzione campionaria proporzionale \u00e8 \u03bc p<\/sub><\/strong> = 0,1<\/strong> .<\/span><\/p>\n Supponiamo di sapere anche che la deviazione standard della popolazione \u00e8 di 18 libbre. Pertanto, la deviazione standard del campione \u00e8 \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span> = \u221a (.1)(1-.1) \/ 50<\/span> = .042<\/strong> .<\/span><\/p>\n Per utilizzare le formule di cui sopra, la distribuzione campionaria deve essere normale.<\/span><\/p>\n Secondo il teorema del limite centrale<\/strong> , la distribuzione campionaria di una media campionaria \u00e8 approssimativamente normale se la dimensione del campione \u00e8 sufficientemente grande, anche se la distribuzione della popolazione non \u00e8 normale<\/em> . Nella maggior parte dei casi, riteniamo che una dimensione del campione pari o superiore a 30 sia sufficientemente ampia.<\/span><\/p>\n La distribuzione campionaria di una proporzione campionaria \u00e8 approssimativamente normale se il numero atteso di successi e fallimenti \u00e8 almeno 10.<\/span><\/p>\n Possiamo usare le distribuzioni campionarie per calcolare le probabilit\u00e0.<\/span><\/p>\n Esempio 1:<\/strong> una determinata macchina crea cookie. La distribuzione del peso di questi biscotti \u00e8 sbilanciata verso destra con una media di 10 once e una deviazione standard di 2 once. Se prendiamo un semplice campione casuale di 100 biscotti prodotti da questa macchina, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che il peso medio dei biscotti in questo campione sia inferiore a 9,8 once?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n Passaggio 1: stabilire la normalit\u00e0.<\/span><\/strong><\/p>\n Dobbiamo garantire che la distribuzione campionaria delle medie campionarie sia normale. Poich\u00e9 la dimensione del nostro campione \u00e8 maggiore o uguale a 30, secondo il teorema del limite centrale, possiamo assumere che la distribuzione campionaria delle medie campionarie sia normale.<\/span><\/p>\n Passo 2: Trova la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria.<\/span><\/strong><\/p>\n \u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n \u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n \u03bcx<\/span><\/sub><\/strong> = 10 once<\/strong><\/span><\/p>\n \u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 2\/ \u221a100 = 2\/10 = 0,2 oncia<\/strong><\/span><\/p>\n Passaggio 3:<\/strong> utilizzare il calcolatore dell’area Z-Score<\/a> per determinare la probabilit\u00e0 che il peso medio dei biscotti in questo campione sia inferiore a 9,8 once.<\/strong><\/span><\/p>\n Inserisci i seguenti numeri nel calcolatore dell’area del punteggio Z.<\/a> Puoi lasciare vuoto “Punteggio grezzo 2” poich\u00e9 in questo esempio troviamo solo un numero.<\/span> <\/p>\n Esempio 2:<\/strong> secondo uno studio condotto a livello scolastico, l’87% degli studenti di una determinata scuola preferisce la pizza al gelato. Supponiamo di prendere un semplice campione casuale di 200 studenti. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che la percentuale di studenti che preferiscono la pizza sia inferiore all’85%?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n Passaggio 1: stabilire la normalit\u00e0.<\/span><\/strong><\/p>\n Ricordiamo che la distribuzione campionaria di una proporzione campionaria \u00e8 approssimativamente normale se il numero atteso di “successi” e “fallimenti” \u00e8 almeno 10.<\/span><\/p>\n In questo caso, il numero previsto di studenti che preferiranno la pizza \u00e8 87% * 200 studenti = 174 studenti. Il numero previsto di studenti che non preferiranno la pizza \u00e8 del 13% * 200 studenti = 26 studenti. Poich\u00e9 entrambi questi numeri sono almeno 10, possiamo assumere che la distribuzione campionaria della proporzione di studenti che preferiranno la pizza sia approssimativamente normale.<\/span><\/p>\n Passo 2: Trova la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria.<\/span><\/strong><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n \u00b5p<\/sub><\/strong> = 0,87<\/strong><\/span><\/p>\n \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (0,87)(1-0,87) \/ 200<\/span> = 0,024<\/strong><\/span><\/p>\n Passaggio 3:<\/strong> utilizzare il calcolatore dell’area Z-Score<\/a> per determinare la probabilit\u00e0 che la percentuale di studenti che preferiscono la pizza sia inferiore all’85%.<\/strong><\/span><\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/echantillonnagedist1.png\")
<\/p>\n Distribuzione campionaria della proporzione<\/strong><\/span><\/h2>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/echantillonnagedist2.png\")
<\/p>\n Stabilire la normalit\u00e0<\/strong><\/span><\/h2>\n
Esempi<\/strong><\/span><\/h2>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/zcalc1.png\")
Poich\u00e9 vogliamo conoscere la probabilit\u00e0 che il peso medio dei biscotti in questo campione sia inferiore a<\/em> 9,8 once, siamo interessati all’area a sinistra<\/em> di 9,8. Il calcolatore ci dice che questa probabilit\u00e0 \u00e8 0,15866<\/strong> .<\/span><\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/zcalc2.png\")
<\/p>\n