{"id":419,"date":"2023-07-30T03:37:52","date_gmt":"2023-07-30T03:37:52","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/test-di-significativita-della-pendenza-di-regressione\/"},"modified":"2023-07-30T03:37:52","modified_gmt":"2023-07-30T03:37:52","slug":"test-di-significativita-della-pendenza-di-regressione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/test-di-significativita-della-pendenza-di-regressione\/","title":{"rendered":"Come testare il significato di una pendenza di regressione"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Supponiamo di avere il seguente set di dati che mostra la metratura e il prezzo di 12 case diverse:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1326 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/regression1.png\" alt=\"Esempio di regressione lineare semplice\" width=\"152\" height=\"352\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Vogliamo sapere se esiste una relazione significativa tra metratura e prezzo.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per avere un&#8217;idea di come appaiono i dati, creiamo prima un grafico a dispersione con <em>i piedi quadrati<\/em> sull&#8217;asse x e <em>il prezzo<\/em> sull&#8217;asse y:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1332 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/regression3.jpg\" alt=\"Grafico a dispersione della regressione lineare semplice\" width=\"537\" height=\"438\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo vedere chiaramente che esiste una correlazione positiva tra metratura e prezzo. All\u2019aumentare della metratura, anche il prezzo della casa tende ad aumentare.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tuttavia, per scoprire se esiste una <strong>relazione<\/strong> <strong>statisticamente significativa<\/strong> tra metratura e prezzo, dobbiamo eseguire una semplice regressione lineare.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi eseguiamo una <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/regressione-lineare-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">semplice regressione lineare<\/a> utilizzando <em>i piedi quadrati<\/em> come predittore e <em>il prezzo come<\/em> risposta e otteniamo il seguente risultato:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1334 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/regression4.png\" alt=\"Output di regressione lineare semplice\" width=\"445\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em>Sia che esegui una semplice regressione lineare in Excel, SPSS, R o qualsiasi altro software, otterrai un risultato simile a quello mostrato sopra.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ricorda che una semplice regressione lineare produrr\u00e0 la linea di migliore adattamento, che \u00e8 l&#8217;equazione della linea che meglio &#8220;si adatta&#8221; ai dati nel nostro grafico a dispersione. Questa linea di miglior adattamento \u00e8 definita come:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u0177 = b <sub>0<\/sub> + b <sub>1<\/sub> x<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">dove \u0177 \u00e8 il valore previsto della variabile di risposta, b <sub>0<\/sub> \u00e8 l&#8217;intercetta, b <sub>1<\/sub> \u00e8 il coefficiente di regressione e x \u00e8 il valore della variabile predittrice.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il valore di b <sub>0<\/sub> \u00e8 dato dal coefficiente dell&#8217;origine, che \u00e8 <strong>47588,70.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il valore di b <sub>1<\/sub> \u00e8 dato dal coefficiente della variabile predittore <em>Piedi quadrati<\/em> , che \u00e8 <strong>93,57.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi la retta pi\u00f9 adatta in questo esempio \u00e8 <strong>\u0177 = 47588.70+ 93.57x<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ecco come interpretare questa linea di best fit:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>b <sub>0<\/sub> :<\/strong> quando il valore dei piedi quadrati \u00e8 zero, il valore medio del prezzo previsto \u00e8 $ 47.588,70. (In questo caso non ha proprio senso interpretare l&#8217;intercettazione, poich\u00e9 una casa non potr\u00e0 mai avere zero metri quadrati)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>b <sub>1<\/sub> :<\/strong> Per ogni metro quadrato in pi\u00f9, l&#8217;aumento medio previsto del prezzo \u00e8 di $ 93,57.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi, ora sappiamo che per ogni metro quadrato in pi\u00f9, l\u2019aumento medio previsto del prezzo \u00e8 di $ 93,57.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per sapere se questo aumento \u00e8 statisticamente significativo, dobbiamo eseguire un test di ipotesi per B <sub>1<\/sub> o costruire un intervallo di confidenza per B <sub>1<\/sub> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Nota<\/strong> : un test di ipotesi e un intervallo di confidenza forniranno sempre gli stessi risultati.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Costruzione di un intervallo di confidenza per una pendenza di regressione<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per costruire un intervallo di confidenza per una pendenza di regressione, utilizziamo la seguente formula:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"> <span style=\"color: #000000;\">Intervallo di confidenza = b <sub>1<\/sub> +\/- (t <sub>1-\u221d\/2, n-2<\/sub> ) * (errore standard di b <sub>1<\/sub> )<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">b <sub>1<\/sub> \u00e8 il coefficiente di pendenza fornito nel risultato della regressione<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">(t <sub>1-\u221d\/2, n-2<\/sub> ) \u00e8 il valore t critico per il livello di confidenza 1-\u221d con n-2 gradi di libert\u00e0 dove <em>n<\/em> \u00e8 il numero totale di osservazioni nel nostro set di dati<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">(errore standard di b <sub>1<\/sub> ) \u00e8 l&#8217;errore standard di b <sub>1<\/sub> indicato nel risultato della regressione<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per il nostro esempio, ecco come costruire un intervallo di confidenza al 95% per B <sub>1<\/sub> :<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">b <sub>1<\/sub> \u00e8 93,57 dall&#8217;output della regressione.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Poich\u00e9 stiamo utilizzando un intervallo di confidenza del 95%, \u221d = 0,05 e n-2 = 12-2 = 10, quindi t <sub>0,975, 10<\/sub> \u00e8 2,228 secondo la tabella di distribuzione t<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">(l&#8217;errore standard di <sub>b1<\/sub> ) \u00e8 11,45 dall&#8217;output della regressione<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Pertanto, il nostro intervallo di confidenza al 95% per B <sub>1<\/sub> \u00e8:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">93,57 +\/- (2,228) * (11,45) = <strong>(68,06, 119,08)<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ci\u00f2 significa che siamo sicuri al 95% che il vero aumento medio del prezzo per ogni metro quadrato aggiuntivo sia compreso tra $ 68,06 e $ 119,08.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tieni presente che $ 0 non rientra in questo intervallo, quindi la relazione tra metratura e prezzo \u00e8 statisticamente significativa al livello di confidenza del 95%.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Esecuzione di un test di ipotesi per una pendenza di regressione<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per eseguire un test di ipotesi per una pendenza di regressione, seguiamo i cinque passaggi standard per qualsiasi test di ipotesi :<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 1. Enunciare le ipotesi.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">L&#8217;ipotesi nulla (H0): B <sub>1<\/sub> = 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">L&#8217;ipotesi alternativa: (Ha): B <sub>1<\/sub> \u2260 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 2. Determinare un livello di significativit\u00e0 da utilizzare.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poich\u00e9 nell&#8217;esempio precedente abbiamo costruito un intervallo di confidenza del 95%, utilizzeremo qui l&#8217;approccio equivalente e sceglieremo di utilizzare un livello di significativit\u00e0 di 0,05.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 3. Trova la statistica del test e il corrispondente valore p.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In questo caso, la statistica del test \u00e8 <em>t<\/em> = coefficiente di b <sub>1<\/sub> \/ errore standard di b <sub>1<\/sub> con n-2 gradi di libert\u00e0. Possiamo trovare questi valori dal risultato della regressione:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-1327 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/regression2.png\" alt=\"Output di regressione lineare semplice\" width=\"445\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Pertanto, la statistica del test <em>t<\/em> = 92,89 \/ 13,88 = 6,69.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Utilizzando il<\/span> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatore-del-valore-p-del-punteggio-t\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">calcolatore dal punteggio T al valore P<\/a> <span style=\"color: #000000;\">con un punteggio di 6,69 con 10 gradi di libert\u00e0 e un test a due code, il valore p = <strong>0,000<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 4. Rifiuta o non rifiutare l&#8217;ipotesi nulla.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poich\u00e9 il valore p \u00e8 inferiore al nostro livello di significativit\u00e0 pari a 0,05, rifiutiamo l&#8217;ipotesi nulla.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passaggio 5. Interpretare i risultati.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poich\u00e9 abbiamo rifiutato l\u2019ipotesi nulla, abbiamo prove sufficienti per affermare che il vero aumento medio del prezzo per ogni metro quadrato aggiuntivo non \u00e8 zero.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Supponiamo di avere il seguente set di dati che mostra la metratura e il prezzo di 12 case diverse: Vogliamo sapere se esiste una relazione significativa tra metratura e prezzo. 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