{"id":428,"date":"2023-07-29T23:33:30","date_gmt":"2023-07-29T23:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/teorema-del-limite-centrale\/"},"modified":"2023-07-29T23:33:30","modified_gmt":"2023-07-29T23:33:30","slug":"teorema-del-limite-centrale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/teorema-del-limite-centrale\/","title":{"rendered":"Teorema del limite centrale: definizione + esempi"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Il <strong>teorema del limite centrale<\/strong> afferma che <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-campionaria-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">la distribuzione campionaria di una media campionaria<\/a> \u00e8 approssimativamente normale se la dimensione del campione \u00e8 sufficientemente grande, <em>anche se la distribuzione della popolazione non \u00e8 normale<\/em> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il teorema del limite centrale afferma inoltre che la distribuzione campionaria avr\u00e0 le seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1.<\/strong> La media della distribuzione campionaria sar\u00e0 uguale alla media della distribuzione della popolazione:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u00b5<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2.<\/strong> La varianza della distribuzione campionaria sar\u00e0 uguale alla varianza della distribuzione della popolazione divisa per la dimensione del campione:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\"><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup><\/span> <span style=\"color: #000000;\">\/n<\/span><\/strong><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Esempi del Teorema del Limite Centrale<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ecco alcuni esempi per illustrare nella pratica il teorema del limite centrale.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">Distribuzione uniforme<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo che la larghezza del guscio di una tartaruga segua una distribuzione uniforme con una larghezza minima di 2 pollici e una larghezza massima di 6 pollici. Cio\u00e8, se selezioniamo una tartaruga a caso e misuriamo la larghezza del suo guscio, \u00e8 probabile che sia <em>larga<\/em> tra 2 e 6 pollici.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare la distribuzione della larghezza del guscio della tartaruga, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1472 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme1.jpg\" alt=\"Esempio di distribuzione uniforme del teorema del limite centrale\" width=\"430\" height=\"264\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">La media di una distribuzione uniforme \u00e8 <strong>\u03bc<\/strong> = (b+a) \/ 2 dove <em>b<\/em> \u00e8 il valore pi\u00f9 grande possibile e <em>a<\/em> \u00e8 il valore pi\u00f9 piccolo possibile. In questo caso \u00e8 (6+2) \/ 2 = 4.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di una distribuzione uniforme \u00e8 <strong><sup>\u03c32<\/sup><\/strong> = (ba) <sup>2\/12<\/sup> . In questo caso \u00e8 (6-2) <sup>2\/12<\/sup> = <strong>1,33<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelievo di campioni casuali di 2 dalla distribuzione uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ora immaginiamo di prendere un campione casuale di 2 tartarughe da questa popolazione e di misurare la larghezza del guscio di ciascuna tartaruga. Supponiamo che il guscio della prima tartaruga sia largo 3 pollici e che il secondo sia largo 6 pollici. La larghezza media di questo campione di 2 tartarughe \u00e8 di 4,5 pollici.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Successivamente, immagina di prendere un altro campione casuale di 2 tartarughe da questa popolazione e di misurare nuovamente la larghezza del guscio di ciascuna tartaruga. Supponiamo che il guscio della prima tartaruga sia largo 2,5 pollici e che anche il secondo sia largo 2,5 pollici. La larghezza media di questo campione di 2 tartarughe \u00e8 di 2,5 pollici.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Immagina di continuare a prelevare campioni casuali da 2 tartarughe pi\u00f9 e pi\u00f9 volte e di continuare a trovare ogni volta la larghezza media del guscio.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare la larghezza media del guscio di tutti questi campioni di 2 tartarughe, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1485 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme2-2.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale per la dimensione del campione 2 per distribuzione uniforme\" width=\"431\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Questa \u00e8 chiamata <strong>distribuzione campionaria per le medie campionarie<\/strong> perch\u00e9 mostra la distribuzione delle medie campionarie.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 2 = 0,665<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelievo di campioni casuali di 5 dalla distribuzione uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ora immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento, ma questa volta prendiamo ripetutamente campioni casuali da 5 tartarughe e troviamo ogni volta la larghezza media del guscio.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare la larghezza media del guscio di tutti questi campioni di 5 tartarughe, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1484 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniform4-2.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale per una distribuzione uniforme della dimensione del campione 5\" width=\"431\" height=\"275\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Si noti che questa distribuzione ha pi\u00f9 una forma a \u201ccampana\u201d che assomiglia <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/la-distribuzione-normale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">alla distribuzione normale<\/a> . Questo perch\u00e9 quando prendiamo campioni di 5, la varianza tra le nostre medie campionarie \u00e8 molto pi\u00f9 bassa, quindi abbiamo meno probabilit\u00e0 di ottenere campioni con una media vicina a 2 pollici o 6 pollici e pi\u00f9 probabilit\u00e0 di ottenere campioni con una media vicina a 2 pollici o 6 pollici. 6 pollici. la media \u00e8 pi\u00f9 vicina alla media della popolazione effettiva di 4 pollici.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 5 = 0,266<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelievo di campioni casuali di 30 dalla distribuzione uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ora immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento, ma questa volta prendiamo ripetutamente campioni casuali da 30 tartarughe e troviamo ogni volta la larghezza media del guscio.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare la larghezza media del guscio di tutti questi campioni di 30 tartarughe, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1483 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme5-2.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale per una dimensione campionaria di 30\" width=\"430\" height=\"269\" srcset=\"\" sizes=\"\"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Si noti che questa distribuzione campionaria \u00e8 ancora pi\u00f9 a campana e molto pi\u00f9 ristretta rispetto alle due distribuzioni precedenti.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 30 = 0,044<\/strong><\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">La distribuzione chi quadrato<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo che il numero di animali domestici per famiglia in una determinata citt\u00e0 segua una distribuzione chi-quadrato con tre gradi di libert\u00e0. Se creassimo un istogramma per rappresentare la distribuzione degli animali per famiglia, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1488 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi1.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale per la distribuzione chi-quadrato\" width=\"494\" height=\"272\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di una distribuzione chi-quadrato \u00e8 semplicemente il numero di gradi di libert\u00e0 (df). In questo caso, <strong>\u03bc<\/strong> = <strong>3<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di una distribuzione Chi-quadrato \u00e8 2 * df. In questo caso, <strong><sup>\u03c32<\/sup><\/strong> = 2 * 3 = <strong>6<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelevando campioni casuali di 2<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Immaginiamo di prendere un campione casuale di 2 famiglie da questa popolazione e di contare il numero di animali domestici in ciascuna famiglia. Supponiamo che la prima famiglia abbia 4 animali domestici e la seconda famiglia abbia 1 animale domestico. Il numero medio di animali domestici per questo campione di 2 famiglie \u00e8 2,5.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi immaginiamo di prendere un altro campione casuale di 2 famiglie da questa popolazione e di contare nuovamente il numero di animali domestici in ciascuna famiglia. Supponiamo che la prima famiglia abbia 6 animali domestici e che la seconda famiglia abbia 4 animali domestici. Il numero medio di animali domestici per questo campione di 2 famiglie \u00e8 5.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Immaginiamo di continuare a prelevare campioni casuali da 2 famiglie pi\u00f9 e pi\u00f9 volte e di continuare a trovare ogni volta il numero medio di animali domestici.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare il numero medio di animali domestici di tutti questi campioni provenienti da 2 famiglie, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1489 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi2.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale con una dimensione del campione di distribuzione chi quadrato pari a 2\" width=\"442\" height=\"296\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong>s <sup>2<\/sup> = \u03c3 <sup>2<\/sup> \/ n = 6 \/ 2 = 3<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelievo di campioni casuali di 10<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ora immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento, ma questa volta prendiamo ripetutamente campioni casuali di 10 famiglie e ogni volta troviamo il numero medio di animali per famiglia.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare il numero medio di animali per famiglia in tutti questi campioni di 10 famiglie, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1490 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi3.jpg\" alt=\"Teorema del limite centrale con distribuzione chi quadrato\" width=\"442\" height=\"295\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 6\/10 = 0,6<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Prelievo di campioni casuali di 30<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ora immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento, ma questa volta prendiamo ripetutamente campioni casuali di 30 famiglie e ogni volta troviamo il numero medio di animali per famiglia.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se creassimo un istogramma per rappresentare il numero medio di animali per famiglia in tutti questi campioni di 30 famiglie, sarebbe simile a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1491 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi4.jpg\" alt=\"Istogramma del teorema limite centrale con distribuzione chi quadrato\" width=\"441\" height=\"294\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media di questa distribuzione campionaria \u00e8<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza di questa distribuzione campionaria \u00e8 <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 6\/30 = 0,2<\/strong><\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Riepilogo<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ecco i principali insegnamenti di questi due esempi:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La distribuzione campionaria di una media campionaria \u00e8 approssimativamente normale se la dimensione del campione \u00e8 sufficientemente grande, <em>anche se la distribuzione della popolazione non \u00e8 normale<\/em> . Nei due esempi precedenti, n\u00e9 la distribuzione uniforme n\u00e9 la distribuzione chi-quadrato erano normali (non erano affatto a forma di &#8220;campana&#8221;), ma quando abbiamo preso un campione abbastanza grande, la distribuzione della media campionaria si \u00e8 trasformata in essere normale.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Maggiore \u00e8 la dimensione del campione, minore \u00e8 la varianza della media campionaria.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Definire \u201cabbastanza grande\u201d<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ricordiamo che il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione campionaria di una media campionaria \u00e8 approssimativamente normale se la dimensione del campione \u00e8 <strong>&#8220;abbastanza grande&#8221;<\/strong> , anche se la distribuzione della popolazione non \u00e8 normale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Non esiste una definizione esatta di quanto dovrebbe essere grande un campione affinch\u00e9 si applichi il teorema del limite centrale, ma in generale dipende dall&#8217;asimmetria della distribuzione della popolazione da cui proviene il campione:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Se la distribuzione della popolazione \u00e8 simmetrica, a volte \u00e8 sufficiente una dimensione del campione di soli 15 individui.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Se la distribuzione della popolazione \u00e8 distorta, di solito \u00e8 necessario un campione di almeno 30 persone.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Se la distribuzione della popolazione \u00e8 estremamente asimmetrica, potrebbe essere necessario un campione di 40 o pi\u00f9 persone.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dai un&#8217;occhiata a questo tutorial sul <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/grande-condizione-del-campione\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">condizionamento di un campione di grandi dimensioni<\/a> per ulteriori informazioni su questo argomento.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione campionaria di una media campionaria \u00e8 approssimativamente normale se la dimensione del campione \u00e8 sufficientemente grande, anche se la distribuzione della popolazione non \u00e8 normale . Il teorema del limite centrale afferma inoltre che la distribuzione campionaria avr\u00e0 le seguenti propriet\u00e0: 1. 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