{"id":432,"date":"2023-07-29T23:15:25","date_gmt":"2023-07-29T23:15:25","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-correlazione-di-pearson\/"},"modified":"2023-07-29T23:15:25","modified_gmt":"2023-07-29T23:15:25","slug":"coefficiente-di-correlazione-di-pearson","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/coefficiente-di-correlazione-di-pearson\/","title":{"rendered":"Coefficiente di correlazione di pearson"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Il <strong>coefficiente di correlazione di Pearson<\/strong> (noto anche come \u201ccoefficiente di correlazione prodotto-momento\u201d) \u00e8 una misura dell&#8217;associazione lineare tra due variabili <em>X<\/em> e <em>Y.<\/em> Ha un valore compreso tra -1 e 1 dove:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">-1 indica una correlazione lineare perfettamente negativa tra due variabili<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">0 indica alcuna correlazione lineare tra due variabili<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">1 indica una correlazione lineare perfettamente positiva tra due variabili<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">La formula per trovare il coefficiente di correlazione di Pearson<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La formula per trovare il coefficiente di correlazione di Pearson, indicato con <em>r<\/em> , per un campione di dati \u00e8 ( <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Pearson_correlation_coefficient\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">tramite Wikipedia<\/a> ):<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Probabilmente non dovrai mai calcolare questa formula a mano poich\u00e9 puoi utilizzare un software per farlo per te, ma \u00e8 utile capire cosa fa esattamente questa formula seguendo un esempio.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Supponiamo di avere il seguente set di dati:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4985 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correlationexemple.jpg\" alt=\"\" width=\"135\" height=\"154\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se tracciassimo queste coppie (X, Y) su un grafico a dispersione, assomiglierebbe a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1532 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl1-1.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione di Pearson su un grafico a dispersione\" width=\"455\" height=\"362\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Semplicemente osservando questo grafico a dispersione, possiamo vedere che esiste un\u2019associazione positiva tra le variabili X e Y: all\u2019aumentare di X, anche Y tende ad aumentare.<\/span> <span style=\"color: #000000;\">Ma per quantificare esattamente quanto positivamente sono associate queste due variabili, dobbiamo trovare il coefficiente di correlazione di Pearson.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Concentriamoci solo sul numeratore della formula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per ogni coppia (X, Y) nel nostro set di dati, dobbiamo trovare la differenza tra il valore x e il valore medio x, la differenza tra il valore y e il valore medio y, quindi moltiplicare questi due numeri insieme.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, la nostra prima coppia (X, Y) \u00e8 (2, 2). Il valore medio di x in questo set di dati \u00e8 5 e il valore medio di y in questo set di dati \u00e8 7. Quindi la differenza tra il valore x di questa coppia e il valore medio di x \u00e8 2 \u2013 5 = -3. La differenza tra il valore y di questa coppia e il valore y medio \u00e8 2 \u2013 7 = -5. Quindi moltiplicando questi due numeri otteniamo -3 * -5 = 15.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1528 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl3.jpg\" alt=\"Correlazione di Pearson manuale\" width=\"409\" height=\"157\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ecco una panoramica visiva di ci\u00f2 che abbiamo appena fatto:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1533 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl3-1.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione di Pearson\" width=\"457\" height=\"356\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi fai questo per ogni coppia:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1534 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl5.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione di Pearson\" width=\"414\" height=\"156\" srcset=\"\" sizes=\"\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1535 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl6.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione di Pearson su un grafico a dispersione\" width=\"447\" height=\"352\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il passaggio finale per ottenere il numeratore della formula \u00e8 semplicemente sommare tutti questi valori insieme:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">15+3+3+15 = <strong>36<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi il denominatore della formula ci dice di trovare la somma di tutte le differenze al quadrato di xey, quindi moltiplicare questi due numeri insieme e infine calcolare la radice quadrata:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi prima troveremo la somma dei quadrati delle differenze per x e y:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1537 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl7.jpg\" alt=\"\" width=\"529\" height=\"137\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Successivamente, moltiplicheremo questi due numeri insieme: 20 * 68 = 1.360.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Infine, prenderemo la radice quadrata: \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">1.360<\/span> = <strong>36,88<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quindi abbiamo scoperto che il numeratore della formula \u00e8 36 e il denominatore \u00e8 36,88. Ci\u00f2 significa che il nostro coefficiente di correlazione di Pearson \u00e8 r = 36 \/ 36,88 = <strong>0,976<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo numero \u00e8 vicino a 1, indicando che esiste una forte relazione lineare positiva tra le nostre variabili <em>X<\/em> e <em>Y.<\/em> Ci\u00f2 conferma la relazione che abbiamo osservato nel grafico a dispersione.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Visualizza correlazioni<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ricorda che un coefficiente di correlazione di Pearson ci dice il <strong>tipo<\/strong> di relazione lineare (positiva, negativa, nessuna) tra due variabili e la <strong>forza<\/strong> di questa relazione (debole, moderata, forte).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quando creiamo un grafico a dispersione di due variabili, possiamo <em>vedere<\/em> la relazione reale tra due variabili. Ecco i molti tipi di relazioni lineari che potremmo osservare:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Relazione forte e positiva:<\/strong> all\u2019aumentare della variabile sull\u2019asse x, aumenta anche la variabile sull\u2019asse y. I punti sono strettamente raggruppati, indicando una forte relazione.<\/span> <span style=\"color: #000000;\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-616 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/pos_strong.jpg\" alt=\"\" width=\"323\" height=\"301\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">Coefficiente di correlazione di Pearson: <strong>0,94<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Relazione debole e positiva:<\/strong> all\u2019aumentare della variabile sull\u2019asse x, aumenta anche la variabile sull\u2019asse y. I punti sono piuttosto sparsi, indicando una relazione debole.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-618 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/pos_faible.jpg\" alt=\"\" width=\"323\" height=\"297\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">Coefficiente di correlazione di Pearson: <strong>0,44<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Nessuna relazione:<\/strong> non esiste una relazione chiara (positiva o negativa) tra le variabili.<\/span> <\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-621 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/aucun.jpg\" alt=\"\" width=\"324\" height=\"296\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">Coefficiente di correlazione di Pearson: <strong>0,03<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Relazione forte e negativa:<\/strong> all\u2019aumentare della variabile sull\u2019asse x, la variabile sull\u2019asse y diminuisce. I punti sono strettamente raggruppati, indicando una forte relazione.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-622 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/neg_strong.jpg\" alt=\"\" width=\"321\" height=\"297\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">Coefficiente di correlazione di Pearson: <strong>-0,87<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Relazione debole e negativa:<\/strong> all\u2019aumentare della variabile sull\u2019asse x, la variabile sull\u2019asse y diminuisce. I punti sono piuttosto sparsi, indicando una relazione debole.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-625 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/negatif_faible.jpg\" alt=\"\" width=\"324\" height=\"296\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">Coefficiente di correlazione di Pearson: \u2013 <strong>0,46<\/strong><\/span><\/p>\n<h2> <strong>Testare la significativit\u00e0 di un coefficiente di correlazione di Pearson<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quando troviamo il coefficiente di correlazione di Pearson per un insieme di dati, spesso lavoriamo con un <em>campione<\/em> di dati proveniente da una <em>popolazione<\/em> pi\u00f9 ampia. Ci\u00f2 significa che \u00e8 possibile trovare una correlazione diversa da zero per due variabili anche se in realt\u00e0 non sono correlate nella popolazione complessiva.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di creare un grafico a dispersione per le variabili <em>X<\/em> e <em>Y<\/em> per ciascun punto dati dell&#8217;intera popolazione e che assomigli a questo:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1543 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl12.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione zero\" width=\"466\" height=\"251\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 ovvio che queste due variabili non sono correlate. Tuttavia, \u00e8 possibile che quando prendiamo un campione di 10 punti dalla popolazione, scegliamo i seguenti punti:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1544 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl13.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione\" width=\"460\" height=\"244\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo vedere che il coefficiente di correlazione di Pearson per questo campione di punti \u00e8 0,93, indicando una forte correlazione positiva anche se la correlazione della popolazione \u00e8 zero.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per verificare se una correlazione tra due variabili \u00e8 statisticamente significativa o meno, possiamo trovare la seguente statistica test:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Statistica del test T = r * \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">(n-2) \/ (1-r <sup>2<\/sup> )<\/span><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">dove <em>n<\/em> \u00e8 il numero di coppie nel nostro campione, <em>r<\/em> \u00e8 il coefficiente di correlazione di Pearson e la statistica del test T segue una distribuzione con n-2 gradi di libert\u00e0.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Rivediamo un esempio di come testare la significativit\u00e0 di un coefficiente di correlazione di Pearson.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">Esempio<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il seguente set di dati mostra l&#8217;altezza e il peso di 12 individui:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4986 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correlationexemple2.jpg\" alt=\"\" width=\"193\" height=\"266\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il grafico a dispersione seguente mostra il valore di queste due variabili:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1547 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl15.jpg\" alt=\"Grafico a dispersione di correlazione\" width=\"461\" height=\"335\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il coefficiente di correlazione di Pearson per queste due variabili \u00e8 r = 0,836.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La statistica del test T = 0,836 * \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\"><span style=\"color: #000000; text-decoration: overline;\">(12<\/span> -2) \/ (1-0,836 <sup>2<\/sup> )<\/span> = 4,804.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Secondo il nostro calcolatore della distribuzione t , un punteggio di 4,804 con 10 gradi di libert\u00e0 ha un valore p di 0,0007. Poich\u00e9 0,0007 &lt; 0,05, possiamo concludere che la correlazione tra peso e altezza in questo esempio \u00e8 statisticamente significativa con alfa = 0,05.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Precauzioni<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sebbene un coefficiente di correlazione di Pearson possa essere utile per dirci se due variabili hanno o meno un&#8217;associazione lineare, dobbiamo tenere a mente tre cose quando interpretiamo un coefficiente di correlazione di Pearson:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. La correlazione non implica causalit\u00e0.<\/strong> Non \u00e8 perch\u00e9 due variabili sono correlate che una <em>faccia<\/em> necessariamente apparire l\u2019altra pi\u00f9 o meno spesso. Un classico esempio di ci\u00f2 \u00e8 la correlazione positiva tra le vendite di gelati e gli attacchi di squali. Quando le vendite di gelati aumentano in determinati periodi dell\u2019anno, tendono ad aumentare anche gli attacchi di squali.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo significa che mangiare il gelato <em>provoca<\/em> attacchi di squali? Ovviamente no! Ci\u00f2 significa semplicemente che in estate il consumo di ghiaccio e gli attacchi di squali tendono ad aumentare, perch\u00e9 il ghiaccio \u00e8 pi\u00f9 popolare in estate e pi\u00f9 persone vanno nell\u2019oceano durante l\u2019estate.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Le correlazioni sono sensibili ai valori anomali.<\/strong> Un valore anomalo estremo pu\u00f2 modificare in modo significativo un coefficiente di correlazione di Pearson. Considera l&#8217;esempio seguente:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1539 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl9.jpg\" alt=\"Esempio di valori anomali di correlazione\" width=\"454\" height=\"306\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Le variabili <em>X<\/em> e <em>Y<\/em> hanno un coefficiente di correlazione di Pearson pari a <strong>0,00<\/strong> . Ma immaginiamo di avere un valore anomalo nel set di dati:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1540 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl10.jpg\" alt=\"Esempio di correlazione di Pearson\" width=\"456\" height=\"305\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tuttavia, il coefficiente di correlazione di Pearson per queste due variabili \u00e8 <strong>0,878<\/strong> . Questo valore anomalo cambia tutto. Questo \u00e8 il motivo per cui, quando si calcola la correlazione tra due variabili, \u00e8 una buona idea visualizzare le variabili utilizzando un grafico a dispersione per verificare la presenza di valori anomali.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Un coefficiente di correlazione di Pearson non cattura le relazioni non lineari tra due variabili.<\/strong> Immaginiamo di avere due variabili con la seguente relazione:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1541 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/correl11.jpg\" alt=\"Correlazione per una relazione non lineare\" width=\"448\" height=\"307\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il coefficiente di correlazione di Pearson per queste due variabili \u00e8 0,00 perch\u00e9 non hanno una relazione lineare. Tuttavia, queste due variabili hanno una relazione non lineare: i valori y sono semplicemente i valori x al quadrato.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quando utilizzi il coefficiente di correlazione di Pearson, tieni presente che stai semplicemente verificando se due variabili sono correlate <em>linearmente<\/em> . Anche se un coefficiente di correlazione di Pearson ci dice che due variabili non sono correlate, potrebbero comunque avere qualche tipo di relazione non lineare. Questo \u00e8 un altro motivo per cui \u00e8 utile creare un grafico a dispersione quando si analizza la relazione tra due variabili: pu\u00f2 aiutarti a rilevare una relazione non lineare.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Il coefficiente di correlazione di Pearson (noto anche come \u201ccoefficiente di correlazione prodotto-momento\u201d) \u00e8 una misura dell&#8217;associazione lineare tra due variabili X e Y. 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