{"id":541,"date":"2023-07-29T13:54:31","date_gmt":"2023-07-29T13:54:31","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/cdf-contro-pdf\/"},"modified":"2023-07-29T13:54:31","modified_gmt":"2023-07-29T13:54:31","slug":"cdf-contro-pdf","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/cdf-contro-pdf\/","title":{"rendered":"Cdf o pdf: qual \u00e8 la differenza?"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Questo tutorial fornisce una semplice spiegazione della differenza tra un PDF (funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0) e un CDF (funzione di distribuzione cumulativa) nelle statistiche.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Variabili casuali<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Prima di poter definire un PDF o CDF, dobbiamo prima comprendere le variabili casuali.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/variabili-casuali\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>variabile casuale<\/strong><\/a> , solitamente indicata con X, \u00e8 una variabile i cui valori sono i risultati numerici di un processo casuale. Esistono due tipi di variabili casuali: discrete e continue.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Variabili casuali discrete<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una <strong>variabile casuale discreta<\/strong> \u00e8 una variabile che pu\u00f2 assumere solo un numero numerabile di valori distinti come 0, 1, 2, 3, 4, 5\u2026 100, 1 milione, ecc. Ecco alcuni esempi di variabili casuali discrete:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Il numero di volte in cui una moneta esce croce dopo essere stata lanciata 20 volte.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Il numero di volte in cui un dado si ferma sul numero <em>4<\/em> dopo essere stato lanciato 100 volte.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Variabili casuali continue<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una <strong>variabile casuale continua<\/strong> \u00e8 una variabile che pu\u00f2 assumere un numero infinito di valori possibili. Ecco alcuni esempi di variabili casuali continue:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Altezza di una persona<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Peso di un animale<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Tempo impiegato per percorrere un miglio<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, l&#8217;altezza di una persona potrebbe essere 60,2 pollici, 65,2344 pollici, 70,431222 pollici, ecc. Esistono infiniti valori possibili per la dimensione.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Regola generale:<\/span> se riesci a <i>contare<\/i> il numero di risultati, allora stai lavorando con una variabile casuale discreta (ad esempio contando il numero di volte in cui una moneta esce testa). Ma se puoi <i>misurare<\/i> il risultato, stai lavorando con una variabile casuale continua (ad esempio misurazione, altezza, peso, tempo, ecc.)<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Funzioni di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una <strong>funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong> (pdf) ci dice la probabilit\u00e0 che una variabile casuale assuma un certo valore.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di lanciare un dado una volta. Se indichiamo con <em>x<\/em> il numero su cui si ferma il dado, la funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0 del risultato pu\u00f2 essere descritta come segue:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x &lt; 1)<\/strong> : 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 1)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 2)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 3)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 4)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 5)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x = 6)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x &gt; 6)<\/strong> : 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Si noti che questo \u00e8 un esempio di variabile casuale discreta, poich\u00e9 <em>x<\/em> pu\u00f2 assumere solo valori interi.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per una variabile casuale continua, non possiamo utilizzare direttamente una PDF, poich\u00e9 la probabilit\u00e0 che <em>x<\/em> assuma un valore esatto \u00e8 zero.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di voler conoscere la probabilit\u00e0 che un hamburger di un particolare ristorante pesi un quarto di libbra (0,25 libbre). Poich\u00e9 <em>il peso<\/em> \u00e8 una variabile continua, pu\u00f2 assumere un numero infinito di valori.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, un dato hamburger potrebbe effettivamente pesare 0,250001 libbre, o 0,24 libbre, o 0,2488 libbre. La probabilit\u00e0 che un dato hamburger peser\u00e0 esattamente 0,25 libbre \u00e8 essenzialmente zero.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Funzioni di distribuzione cumulativa<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Una <strong>funzione di distribuzione cumulativa<\/strong> (cdf) ci dice la probabilit\u00e0 che una variabile casuale assuma un valore inferiore o uguale a <em>x<\/em> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di lanciare un dado una volta. Se indichiamo con <em>x<\/em> il numero su cui si ferma il dado, la funzione di distribuzione cumulativa del risultato pu\u00f2 essere descritta come segue:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 0)<\/strong> : 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 1)<\/strong> : 1\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 2)<\/strong> : 2\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 3)<\/strong> : 3\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 4)<\/strong> : 4\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 5)<\/strong> : 5\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x \u2264 6)<\/strong> : 6\/6<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(x &gt; 6)<\/strong> : 0<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nota che la probabilit\u00e0 che <em>x<\/em> sia inferiore o uguale a <em>6<\/em> \u00e8 6\/6, che \u00e8 uguale a 1. Questo perch\u00e9 il dado esce su 1, 2, 3, 4, 5 o 6 con una probabilit\u00e0 del 100%.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questo esempio utilizza una variabile casuale discreta, ma \u00e8 possibile utilizzare anche una funzione di densit\u00e0 continua per una variabile casuale continua.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Le funzioni di distribuzione cumulativa hanno le seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La probabilit\u00e0 che una variabile casuale assuma un valore inferiore al minimo valore possibile \u00e8 zero. Ad esempio, la probabilit\u00e0 che un dado esca su un valore inferiore a 1 \u00e8 zero.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La probabilit\u00e0 che una variabile casuale assuma un valore inferiore o uguale al massimo valore possibile \u00e8 pari a uno. Ad esempio, la probabilit\u00e0 che un dado esca sul valore 1, 2, 3, 4, 5 o 6 \u00e8 pari a uno. Deve atterrare su uno di questi numeri.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Il cdf \u00e8 sempre non decrescente. Vale a dire, la probabilit\u00e0 che un dado cada su un numero minore o uguale a 1 \u00e8 1\/6, la probabilit\u00e0 che cada su un numero minore o uguale a 2 \u00e8 2\/6, la probabilit\u00e0 di cadere su un il numero inferiore o uguale a 3 \u00e8 3\/6, ecc. Le probabilit\u00e0 cumulative sono sempre non decrescenti.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Correlato:<\/strong> \u00e8 possibile utilizzare un <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/testata-eccellente\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">grafico a ogiva<\/a> per visualizzare una funzione di distribuzione cumulativa.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>La relazione tra un CDF e un PDF<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In termini tecnici, una funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0 (pdf) \u00e8 la derivata di una funzione di distribuzione cumulativa (cdf).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Inoltre, l&#8217;area sotto la curva di un pdf tra infinito negativo e <em>x<\/em> \u00e8 uguale al valore di <em>x<\/em> sul cdf.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per una spiegazione approfondita della relazione tra un pdf e un cdf, nonch\u00e9 la prova del motivo per cui il pdf \u00e8 il derivato del cdf, fare riferimento a un libro di testo di statistica.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo tutorial fornisce una semplice spiegazione della differenza tra un PDF (funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0) e un CDF (funzione di distribuzione cumulativa) nelle statistiche. 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