{"id":550,"date":"2023-07-29T13:07:26","date_gmt":"2023-07-29T13:07:26","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/ipotesi-di-regressione-lineare\/"},"modified":"2023-07-29T13:07:26","modified_gmt":"2023-07-29T13:07:26","slug":"ipotesi-di-regressione-lineare","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/ipotesi-di-regressione-lineare\/","title":{"rendered":"Le quattro ipotesi della regressione lineare"},"content":{"rendered":"

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La regressione lineare<\/strong> \u00e8 un metodo statistico utile che possiamo utilizzare per comprendere la relazione tra due variabili, x e y. Tuttavia, prima di eseguire una regressione lineare, dobbiamo prima assicurarci che siano soddisfatte quattro ipotesi:<\/span><\/p>\n

1. Relazione lineare:<\/strong> esiste una relazione lineare tra la variabile indipendente, x, e la variabile dipendente, y.<\/span><\/p>\n

2. Indipendenza:<\/strong> i residui sono indipendenti. In particolare, non esiste alcuna correlazione tra i residui consecutivi nei dati delle serie temporali.<\/span><\/p>\n

3. Omoschedasticit\u00e0:<\/strong> i residui hanno una varianza costante ad ogni livello di x.<\/span><\/p>\n

4. Normalit\u00e0:<\/strong> i residui del modello sono distribuiti normalmente.<\/span><\/p>\n

Se uno o pi\u00f9 di questi presupposti non vengono soddisfatti, i risultati della nostra regressione lineare potrebbero essere inaffidabili o addirittura fuorvianti.<\/span><\/p>\n

In questo articolo forniamo una spiegazione per ciascun presupposto, come determinare se il presupposto \u00e8 soddisfatto e cosa fare se il presupposto non \u00e8 soddisfatto.<\/span><\/p>\n

Ipotesi 1: relazione lineare<\/strong><\/span><\/h2>\n

Spiegazione<\/strong><\/span><\/h3>\n

Il primo presupposto della regressione lineare \u00e8 che esista una relazione lineare tra la variabile indipendente x e la variabile indipendente y.<\/span><\/p>\n

Come determinare se questo presupposto \u00e8 soddisfatto<\/strong><\/h3>\n

Il modo pi\u00f9 semplice per verificare se questo presupposto \u00e8 soddisfatto \u00e8 creare un grafico a dispersione di x rispetto a y. Ci\u00f2 consente di vedere visivamente se esiste una relazione lineare tra le due variabili. Se sembra che i punti sul grafico possano giacere lungo una linea retta, allora esiste un qualche tipo di relazione lineare tra le due variabili e questo presupposto \u00e8 soddisfatto.<\/span><\/p>\n

Ad esempio, i punti nel grafico seguente sembrano cadere su una linea retta, indicando che esiste una relazione lineare tra x e y:<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Tuttavia, non sembra esserci una relazione lineare tra x e y nel grafico seguente:<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

E in questo grafico sembra esserci una chiara relazione tra x e y, ma non una relazione lineare<\/em> :<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Cosa fare se questo presupposto non viene rispettato<\/strong><\/h3>\n

Se crei un grafico a dispersione di valori per xey e scopri che non<\/em> esiste una relazione lineare tra le due variabili, hai diverse opzioni:<\/span><\/p>\n

1.<\/strong> Applicare una trasformazione non lineare alla variabile indipendente e\/o dipendente. Esempi comuni includono il logaritmo, la radice quadrata o il reciproco della variabile indipendente e\/o dipendente.<\/span><\/p>\n

2.<\/strong> Aggiungi un’altra variabile indipendente al modello. Ad esempio, se il grafico di x rispetto a y ha una forma parabolica, potrebbe avere senso aggiungere X 2<\/sup> come variabile indipendente aggiuntiva nel modello.<\/span><\/p>\n

Ipotesi 2: Indipendenza<\/strong><\/span><\/h2>\n

Spiegazione<\/strong><\/span><\/h3>\n

Il successivo presupposto della regressione lineare \u00e8 che i residui siano indipendenti. Ci\u00f2 \u00e8 particolarmente rilevante quando si lavora con dati di serie temporali. Idealmente, non vogliamo che ci sia una tendenza tra residui consecutivi. Ad esempio, i residui non dovrebbero aumentare continuamente nel tempo.<\/span><\/p>\n

Come determinare se questo presupposto \u00e8 soddisfatto<\/strong><\/h3>\n

Il modo pi\u00f9 semplice per verificare se questa ipotesi \u00e8 valida \u00e8 osservare un grafico dei residui della serie temporale, che \u00e8 un grafico dei residui rispetto al tempo. Idealmente, la maggior parte delle autocorrelazioni residue dovrebbe rientrare nelle bande di confidenza del 95% attorno allo zero, che si trovano a circa +\/- 2 sulla radice quadrata di n<\/em> , dove n<\/em> \u00e8 la dimensione del campione. Puoi anche verificare formalmente se questo presupposto \u00e8 soddisfatto utilizzando il test di Durbin-Watson<\/a> .<\/span><\/p>\n

Cosa fare se questo presupposto non viene rispettato<\/strong><\/h3>\n

A seconda di come viene violato questo presupposto, hai diverse opzioni:<\/span><\/p>\n

    \n
  • Per una correlazione seriale positiva, prendere in considerazione l’aggiunta di ritardi della variabile dipendente e\/o indipendente al modello.<\/span><\/li>\n
  • Per la correlazione seriale negativa, assicurati che nessuna delle variabili abbia un ritardo eccessivo<\/em> .<\/span><\/li>\n
  • Per la correlazione stagionale, prendere in considerazione l’aggiunta di dummy stagionali al modello.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

    Ipotesi 3: Omoschedasticit\u00e0<\/strong><\/span><\/h2>\n

    Spiegazione<\/strong><\/span><\/h3>\n

    Il successivo presupposto della regressione lineare \u00e8 che i residui abbiano varianza costante a ciascun livello di x. Questa si chiama omoschedasticit\u00e0<\/em> . Quando questo non \u00e8 il caso, i residui soffrono di eteroschedasticit\u00e0<\/em> .<\/span><\/p>\n

    Quando l’eteroschedasticit\u00e0 \u00e8 presente in un’analisi di regressione, i risultati dell’analisi diventano difficili da credere. Nello specifico, l’eteroschedasticit\u00e0 aumenta la varianza delle stime dei coefficienti di regressione, ma il modello di regressione non ne tiene conto. Ci\u00f2 rende molto pi\u00f9 probabile che un modello di regressione affermi che un termine nel modello \u00e8 statisticamente significativo, quando in realt\u00e0 non lo \u00e8.<\/span><\/p>\n

    Come determinare se questo presupposto \u00e8 soddisfatto<\/strong><\/h3>\n

    Il modo pi\u00f9 semplice per rilevare l’eteroschedasticit\u00e0 \u00e8 creare un grafico valore\/residuo adattato<\/em> .<\/span><\/p>\n

    Una volta adattata una linea di regressione a un set di dati, \u00e8 possibile creare un grafico a dispersione che mostra i valori adattati del modello rispetto ai residui di tali valori adattati. Il grafico a dispersione seguente mostra un grafico tipico del valore adattato rispetto al residuo<\/em> in cui \u00e8 presente l’eteroschedasticit\u00e0.<\/span><\/p>\n

    Notare come i residui si diffondono sempre di pi\u00f9 all’aumentare dei valori adattati. Questa forma a \u201ccono\u201d \u00e8 un classico segno di eteroschedasticit\u00e0:<\/span><\/p>\n

    Cosa fare se questo presupposto non viene rispettato<\/strong><\/h3>\n

    Esistono tre modi comuni per correggere l’eteroschedasticit\u00e0:<\/span><\/p>\n

    1. Trasforma la variabile dipendente.<\/strong> Una trasformazione comune consiste semplicemente nel prendere il logaritmo della variabile dipendente. Ad esempio, se utilizziamo la dimensione della popolazione (variabile indipendente) per prevedere il numero di fioristi in una citt\u00e0 (variabile dipendente), possiamo invece provare a utilizzare la dimensione della popolazione per prevedere il logaritmo del numero di fioristi in una citt\u00e0. L’utilizzo del logaritmo della variabile dipendente, anzich\u00e9 della variabile dipendente originale, spesso comporta la scomparsa dell’eteroschedasticit\u00e0.<\/span><\/p>\n

    2. Ridefinire la variabile dipendente.<\/strong> Un modo comune per ridefinire la variabile dipendente \u00e8 utilizzare un tasso<\/em> anzich\u00e9 il valore grezzo. Ad esempio, invece di utilizzare la dimensione della popolazione per prevedere il numero di fioristi in una citt\u00e0, possiamo utilizzare la dimensione della popolazione per prevedere il numero di fioristi pro capite. Nella maggior parte dei casi, ci\u00f2 riduce la variabilit\u00e0 che si verifica naturalmente all\u2019interno di popolazioni pi\u00f9 grandi poich\u00e9 misuriamo il numero di fioristi per persona, piuttosto che il numero di fioristi stessi.<\/span><\/p>\n

    3. Utilizzare la regressione ponderata.<\/strong> Un altro modo per correggere l’eteroschedasticit\u00e0 \u00e8 utilizzare la regressione ponderata. Questo tipo di regressione assegna un peso a ciascun punto dati in base alla varianza del relativo valore adattato. In sostanza, ci\u00f2 attribuisce pesi bassi ai punti dati che presentano varianze pi\u00f9 elevate, riducendo i loro quadrati residui. Quando vengono utilizzati i pesi appropriati, ci\u00f2 pu\u00f2 eliminare il problema dell’eteroschedasticit\u00e0.<\/span><\/p>\n

    Ipotesi 4: normalit\u00e0<\/strong><\/span><\/h2>\n

    Spiegazione<\/strong><\/span><\/h3>\n

    Il successivo presupposto della regressione lineare \u00e8 che i residui siano distribuiti normalmente.<\/span><\/p>\n

    Come determinare se questo presupposto \u00e8 soddisfatto<\/strong><\/h3>\n

    Esistono due modi comuni per verificare se questa ipotesi \u00e8 soddisfatta:<\/span><\/p>\n

    1.<\/strong> Verificare visivamente l’ipotesi utilizzando<\/span> i grafici QQ .<\/p>\n

    Un grafico QQ, abbreviazione di grafico quantile-quantile, \u00e8 un tipo di grafico che possiamo utilizzare per determinare se i residui di un modello seguono o meno una distribuzione normale. Se i punti sul grafico formano approssimativamente una linea diagonale retta, il presupposto di normalit\u00e0 \u00e8 soddisfatto.<\/span><\/p>\n

    Il seguente grafico QQ mostra un esempio di residui che seguono approssimativamente una distribuzione normale:<\/span><\/p>\n

    Tuttavia, il grafico QQ riportato di seguito mostra un esempio di un caso in cui i residui deviano chiaramente da una linea diagonale retta, indicando che non seguono la distribuzione normale:<\/span><\/p>\n

    2.<\/strong> Puoi anche verificare l’ipotesi di normalit\u00e0 utilizzando test statistici formali come Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smironov, Jarque-Barre o D’Agostino-Pearson. Tuttavia, tieni presente che questi test sono sensibili alle dimensioni del campione di grandi dimensioni, ovvero spesso concludono che i residui non sono normali quando la dimensione del campione \u00e8 ampia. Questo \u00e8 il motivo per cui spesso \u00e8 pi\u00f9 semplice utilizzare semplicemente metodi grafici come un grafico QQ per verificare questa ipotesi.<\/span><\/p>\n

    Cosa fare se questo presupposto non viene rispettato<\/strong><\/h3>\n

    Se il presupposto di normalit\u00e0 non viene soddisfatto, hai diverse opzioni:<\/span><\/p>\n

      \n
    • Innanzitutto, controlla che i valori anomali non abbiano un impatto enorme sulla distribuzione. Se sono presenti valori anomali, assicurarsi che siano valori reali e non errori di immissione dei dati.<\/span><\/li>\n
    • Quindi \u00e8 possibile applicare una trasformazione non lineare alla variabile indipendente e\/o dipendente. Esempi comuni includono il logaritmo, la radice quadrata o il reciproco della variabile indipendente e\/o dipendente.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

      Ulteriori letture:<\/strong><\/span><\/p>\n

      Introduzione alla regressione lineare semplice
      Comprendere l’eteroschedasticit\u00e0 nell’analisi di regressione
      Come creare e interpretare un grafico QQ in R<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      La regressione lineare \u00e8 un metodo statistico utile che possiamo utilizzare per comprendere la relazione tra due variabili, x e y. Tuttavia, prima di eseguire una regressione lineare, dobbiamo prima assicurarci che siano soddisfatte quattro ipotesi: 1. Relazione lineare: esiste una relazione lineare tra la variabile indipendente, x, e la variabile dipendente, y. 2. 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